(UFF-RJ) São dadas progressões: uma aritmética (P.A.) e outra geométrica (P.G.). Sabe-se que:
  • a razão da P.G. é 2;
  • em ambas o primeiro termo é igual a 1 ;
  • a soma dos termos da P.A. é igual à soma dos termos da P.G.;
  • ambas têm 4 termos.
Pode-se afirmar que a razão da P.A. é:
a) 16
b) 56
c) 76
d) 96
e) 116

Passo 1

O enunciado apresenta duas progressões de quatro termos cada: uma P.G. com razão q=2 e primeira termo a1=1, e uma P.A. com primeiro termo a1=1 e razão desconhecida r. Sabe-se que as somas dos quatro termos em cada progressão são iguais. Para resolver, vamos usar a fórmula da soma de uma P.G. e a fórmula da soma de uma P.A.

Passo 2

A soma dos quatro primeiros termos de uma P.G. é dada por
SPG = a1 ,q^n - 1q - 1
Aqui a1=1, q=2 e n=4, logo
SPG = 1cdot2^4 - 12 - 1 = 16 - 11 = 15

Passo 3

A soma dos quatro primeiros termos de uma P.A. é
SPA = n2l(2a1 + (n-1)rr)
Com a1=1, n=4 e razão r, obtemos
SPA = 42l(2cdot1 + 3rr) = 2,(2 + 3r) = 4 + 6r

Passo 4

Igualando as somas:
4 + 6r = 15
6r = 11
r = 116

Resposta

(e) 116

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