Resolva as equações de Bernoulli.
u^prime=u-u^3

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
u' = u - u^3,
que é uma equação de Bernoulli da forma
u' + p(t),u = q(t),u^n,
com p(t)=-1, q(t)=-1 e n=3. Vamos usar a transformação padrão de Bernoulli para reduzir a uma equação linear.

Passo 2

Colocamos na forma padrão de Bernoulli:
u' - u = -,u^3
Assim identificamos
p(t) = -1, q(t) = -1, n = 3

Passo 3

Fazemos a substituição
v = u^,1-n = u^-2
Diferenciando em relação a t,
v' = -2,u^-3,u'
Substituindo u' da equação original obtemos uma equação linear em v.

Passo 4

O cálculo leva a
v' + 2,v = 2
Para resolvê-la, usamos o fator integrante mu(t)=e^integral 2,dt=e^2t, de modo que
ddtl(e^2tvr)=2,e^2t
e, ao integrar,
e^2tv = integral 2,e^2tdt = e^2t + C Longrightarrow v = 1 + C,e^-2t

Passo 5

Voltando à variável u, como v=u^-2 segue
u^-2 = 1 + C,e^-2t Longrightarrow u(t)=pm1raiz1 + C,e^-2t
Além disso, as soluções constantes uequiv0 e uequivpm1 também satisfazem a equação original.

Resposta

u(t)=0, u(t)=pm1raiz1 + C,e^-2t,
com C constante de integração (incluindo em limites adequados as soluções constantes uequivpm1).

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