Resolva as equações de Bernoulli.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que é uma equação de Bernoulli da forma
com
,
e
. Vamos usar a transformação padrão de Bernoulli para reduzir a uma equação linear.
Passo 2
Colocamos na forma padrão de Bernoulli:
Assim identificamos
Passo 3
Fazemos a substituição
Diferenciando em relação a
,
Substituindo
da equação original obtemos uma equação linear em
.
Passo 4
O cálculo leva a
Para resolvê-la, usamos o fator integrante
, de modo que
e, ao integrar,
Passo 5
Voltando à variável
, como
segue
Além disso, as soluções constantes
e
também satisfazem a equação original.
Resposta
com
constante de integração (incluindo em limites adequados as soluções constantes
).