1. x y^prime prime=y^prime+(y^prime)^3

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
x,y'' = y' + (y')^3
e pede a solução geral y(x). Como não aparece y isoladamente, podemos usar a redução de ordem definindo
p(x) = y'(x),
transformando o problema numa equação de primeira ordem em p.

Passo 2

Substituindo p = y' e y'' = tfracdpdx, a equação fica
x,dpdx = p + p^3

Passo 3

Reescrevemos como separável:
dpp + p^3 = dxx

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
1p + p^3 = 1p(1+p^2) = 1p ;-;p1+p^2
Logo,
integral dpp + p^3 = integrall(1p-p1+p^2r)dp = ln|p| - tfrac12ln(1+p^2) + C1
O lado direito é
integral dxx = ln|x| + C2
Igualando e juntando constantes, obtemos
ln!l(p^21+p^2r) = 2ln|x| + C

Passo 5

Exponenciando, surge
p^21+p^2 = C,x^2,
de onde
p^2 = C,x^21 - C,x^2, p = y' = pm raizC,xraiz1 - C,x^2

Passo 6

Integramos
y' = pm raizC,xraiz1 - C,x^2
Note que
integral xraiz1 - C,x^2,dx = -1Craiz1 - C,x^2 + D
Assim
y(x) = pm (-raizCCraiz1 - C,x^2) + K = mp 1raizCraiz1 - C,x^2 + K,
onde K é constante de integração.

Passo 7

Renomeando K = C1 e C = C2, a solução geral fica
y(x) = C1 pm 1raizC2 ,raiz1 - C2,x^2,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 pm 1raizC2 ,raiz1 - C2,x^2, C1,C2inR

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