Calcule
, sabendo que
e
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá o campo vetorial
. - Dá a curva paramétrica
, com . - Pede o integral de linha
ao longo da curva parametrizada por .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As componentes de
são , , . - O parâmetro
varia de até .
Passo 2
Qual método usar e por quê (fórmula que vamos aplicar):
- Para um campo vetorial
e uma curva parametrizada com , o integral de linha é dado por
Aqui:
-
significa substituir nas componentes de . -
é a derivada componente a componente da parametrização. - O produto escalar
é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
Vou aplicar exatamente essa fórmula, porque o enunciado fornece uma parametrização explícita de
.
Passo 3
Calcular
(derivada da parametrização):
-
. - Derivando componente a componente:
- As derivadas são potências:
. Portanto
Passo 4
Calcular
(substituir
pelas componentes de
):
- As componentes originais de
são , , . - Substituindo
, , :
Logo
Passo 5
Calcular o produto escalar
:
- Multiplica componente a componente e soma:
- Simplificando potências:
- Somando os termos semelhantes:
Passo 6
Calcular a integral definida
:
- Escrevendo o integral pela fórmula do Passo 2:
- Integramos termo a termo. Antiderivadas (regra da potência:
para ):
- Assim a antiderivada total é
. Avaliando de a :
- Calculando os sinais:
e . Então
(Observação rápida: o termo com
é função ímpar, contribui zero na integração simétrica; o termo com
é par e dá a contribuição
, resultado consistente.)
Passo 7
Conclusão: o valor do integral de linha pedido é
.