Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, sabendo que \vec{F}=\vec{F}(x, y, z)=x y \vec{i}+y z \vec{j}+z x \vec{k} e \vec{r}(t)=t^{3} \vec{i}+t^{2} \vec{j}+t \vec{k},-1 \leq t \leq 1.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá o campo vetorial \vec{F}=\vec{F}(x,y,z)=x y\,\vec{i}+y z\,\vec{j}+z x\,\vec{k}.
  • Dá a curva paramétrica \vec{r}(t)=t^{3}\,\vec{i}+t^{2}\,\vec{j}+t\,\vec{k}, com -1\le t\le 1.
  • Pede o integral de linha \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} ao longo da curva C parametrizada por \vec{r}(t).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As componentes de \vec{r}(t) são x(t)=t^{3}, y(t)=t^{2}, z(t)=t.
  • O parâmetro t varia de -1 até 1.

Passo 2

Qual método usar e por quê (fórmula que vamos aplicar):
  • Para um campo vetorial \vec{F} e uma curva parametrizada \vec{r}(t) com t\in[a,b], o integral de linha é dado por
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui:
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) significa substituir x=x(t),y=y(t),z=z(t) nas componentes de \vec{F}.
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada componente a componente da parametrização.
  • O produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
Vou aplicar exatamente essa fórmula, porque o enunciado fornece uma parametrização explícita de C.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t) (derivada da parametrização):
  • \vec{r}(t)=t^{3}\,\vec{i}+t^{2}\,\vec{j}+t\,\vec{k}.
  • Derivando componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=\frac{d}{dt}\big(t^{3}\big)\,\vec{i}+\frac{d}{dt}\big(t^{2}\big)\,\vec{j}+\frac{d}{dt}\big(t\big)\,\vec{k}.
  • As derivadas são potências: \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}. Portanto
\vec{r}\,'(t)=3t^{2}\,\vec{i}+2t\,\vec{j}+1\,\vec{k}.

Passo 4

Calcular \vec{F}(\vec{r}(t)) (substituir x,y,z pelas componentes de \vec{r}(t)):
  • As componentes originais de \vec{F} são F_{1}=xy, F_{2}=yz, F_{3}=zx.
  • Substituindo x=t^{3}, y=t^{2}, z=t:
F_{1}(t)=x(t)y(t)=t^{3}\cdot t^{2}=t^{5},
F_{2}(t)=y(t)z(t)=t^{2}\cdot t=t^{3},
F_{3}(t)=z(t)x(t)=t\cdot t^{3}=t^{4}.
Logo
\vec{F}(\vec{r}(t))=t^{5}\,\vec{i}+t^{3}\,\vec{j}+t^{4}\,\vec{k}.

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t):
  • Multiplica componente a componente e soma:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) = t^{5}\cdot(3t^{2}) + t^{3}\cdot(2t) + t^{4}\cdot(1).
  • Simplificando potências:
t^{5}\cdot 3t^{2}=3t^{7},\qquad t^{3}\cdot 2t=2t^{4},\qquad t^{4}\cdot 1=t^{4}.
  • Somando os termos semelhantes:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=3t^{7}+2t^{4}+t^{4}=3t^{7}+3t^{4}.

Passo 6

Calcular a integral definida \displaystyle\int_{-1}^{1}\big(3t^{7}+3t^{4}\big)\,dt:
  • Escrevendo o integral pela fórmula do Passo 2:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{-1}^{1}\big(3t^{7}+3t^{4}\big)\,dt.
  • Integramos termo a termo. Antiderivadas (regra da potência: \int t^{n}dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1):
\int 3t^{7}\,dt=3\cdot\frac{t^{8}}{8}=\frac{3}{8}t^{8}, \qquad \int 3t^{4}\,dt=3\cdot\frac{t^{5}}{5}=\frac{3}{5}t^{5}.
  • Assim a antiderivada total é \dfrac{3}{8}t^{8}+\dfrac{3}{5}t^{5}. Avaliando de -1 a 1:
\left[\frac{3}{8}t^{8}+\frac{3}{5}t^{5}\right]_{-1}^{1} =\left(\frac{3}{8}\cdot 1^{8}+\frac{3}{5}\cdot 1^{5}\right)-\left(\frac{3}{8}\cdot(-1)^{8}+\frac{3}{5}\cdot(-1)^{5}\right).
  • Calculando os sinais: (-1)^{8}=1 e (-1)^{5}=-1. Então
\bigg(\frac{3}{8}+\frac{3}{5}\bigg)-\bigg(\frac{3}{8}-\frac{3}{5}\bigg) = \frac{3}{8}-\frac{3}{8}+\frac{3}{5}+\frac{3}{5} = 0 + \frac{6}{5}=\frac{6}{5}.
(Observação rápida: o termo com t^{7} é função ímpar, contribui zero na integração simétrica; o termo com t^{4} é par e dá a contribuição \dfrac{6}{5}, resultado consistente.)

Passo 7

Conclusão: o valor do integral de linha pedido é \dfrac{6}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{6}{5}

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