A Holanda é o pais com a maior média de alturas do mundo, já a Bolívia é a penúltima menor altura. Em uma amostra com 21 holandeses (X) constatou-se uma média de
e cujo o desvio padrão amostral de
. Em uma amostra com 21 bolivianos (
) constatou-se uma média
de
e cujo o desvio padrão amostral de
. Construa um Intervalo de Confiança com nível de
para a diferença das médias das alturas populacionais considerando:
(a) As variâncias populacionais desconhecidas e iguais.
de
(a) As variâncias populacionais desconhecidas e iguais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas amostras: uma de 21 holandeses com altura média de
e desvio padrão de
, e outra de 21 bolivianos com altura média de
e desvio padrão de
. A gente quer construir um intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias das alturas dessas duas populações, assumindo que as variâncias populacionais são desconhecidas, mas iguais. Para isso, vamos usar a teoria de intervalo de confiança para a diferença entre duas médias com variâncias iguais, utilizando a distribuição t.
Passo 2
Primeiro, como as variâncias são desconhecidas e iguais, a gente calcula o desvio padrão combinado, também conhecido como desvio padrão “pool”. A fórmula para o desvio padrão combinado (
) é:
Onde:
-
e são os tamanhos das amostras. -
e são os desvios padrão das amostras.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, a gente calcula o erro padrão da diferença das médias (
):
Passo 5
Precisamos encontrar o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança de 95% e
graus de liberdade. Consultando a tabela t, ou usando uma calculadora, encontramos que
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a margem de erro (
):
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança para a diferença das médias (
):
Isso dá um intervalo de:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias das alturas é de aproximadamente
a
. Isso significa que, com 95% de confiança, a diferença média das alturas entre holandeses e bolivianos está entre 2,6 cm e 47,4 cm.