As lâminas de um ventilador giram com velocidade angular dada por omega(t)=gamma-beta t^2, onde gamma=5 rad / s e beta=0,80 rad / s^2. (a) Calcule a aceleração angular em função do tempo. (b) calcule a aceleração instantânea para t=3,00 s e a aceleração angular média para o intervalo de tempo t=0 s até t=3,00 s. Como essas duas grandezas podem ser comparadas? Caso elas sejam diferentes, por que são diferentes?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a velocidade angular de lâminas de um ventilador, que varia com o tempo segundo a equação . Aqui, e .
Vamos precisar entender de cinemática rotacional, especificamente como relacionar velocidade angular e aceleração angular. Para isso, vamos usar derivadas, já que a aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a aceleração angular em função do tempo. Sabemos que a aceleração angular ( alpha(t) = domega(t)dt ) é a derivada da velocidade angular ( ) em relação ao tempo ( ):
Dada a função , vamos derivar cada termo com respeito a .

Passo 3

Derivando alpha(t) = 0 - 2beta t = -2beta t :
  • A derivada de (que é uma constante) em relação a é 0.
  • A derivada de em relação a é .
Portanto,

Passo 4

Agora que temos a expressão geral da aceleração angular, podemos substituir o valor de alpha(t) = -2 times 0,80 , rad/s^2 times t = -1,60 , rad/s^2 times t :
alpha(t) = -1,60 , t , rad/s^2
Então, a aceleração angular em função do tempo é:

Passo 5

Para a parte (b) do exercício, vamos calcular a aceleração instantânea em alpha(3,00) = -1,60 times 3,00 = -4,80 , rad/s^2 e a aceleração angular média no intervalo de até .
Primeiro, a aceleração instantânea é simplesmente avaliada em :

Passo 6

Agora, para encontrar a aceleração angular média ( alphamédia = Deé) no intervalo de a , usamos a fórmula:
é
Primeiro, calculamos , que é a variação da velocidade angular nesse intervalo.

Passo 7

Calculando as velocidades angulares nos instantes omega(0) = gamma - beta times 0^2 = 5 , rad/s e omega(3,00) = 5 - 0,80 times (3)^2 = 5 - 0,80 times 9 = 5 - 7,20 = -2,20 , rad/s :
Para :
Para :
Então, .

Passo 8

Agora, alphamédia = -7,20 , rad/s3,00 , s = -2,40 , rad/s^2 .
Substituindo na fórmula da aceleração média:
é

Passo 9

Finalmente, precisamos comparar a aceleração instantânea em ( ) com a aceleração angular média ( ).
Essas duas grandezas são diferentes porque a aceleração angular não é constante ao longo do tempo. A aceleração instantânea mede a taxa de variação da velocidade exatamente em , enquanto a aceleração média considera toda a variação da velocidade no intervalo de tempo.

Resposta

(a) A aceleração angular em função do tempo é .
(b) A aceleração instantânea em é e a aceleração angular média no intervalo de a é . Elas são diferentes porque a aceleração angular varia com o tempo, tornando a aceleração instantânea em um ponto específico diferente da média ao longo de um intervalo.

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