As lâminas de um ventilador giram com velocidade angular dada por
, onde
e
. (a) Calcule a aceleração angular em função do tempo. (b) calcule a aceleração instantânea para
e a aceleração angular média para o intervalo de tempo
até
. Como essas duas grandezas podem ser comparadas? Caso elas sejam diferentes, por que são diferentes?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a velocidade angular de lâminas de um ventilador, que varia com o tempo segundo a equação
. Aqui,
e
.
Vamos precisar entender de cinemática rotacional, especificamente como relacionar velocidade angular e aceleração angular. Para isso, vamos usar derivadas, já que a aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a aceleração angular em função do tempo. Sabemos que a aceleração angular (
) é a derivada da velocidade angular (
) em relação ao tempo (
):
Dada a função
, vamos derivar cada termo com respeito a
.
Passo 3
Derivando
:
- A derivada de
(que é uma constante) em relação a é 0. - A derivada de
em relação a é .
Portanto,
Passo 4
Agora que temos a expressão geral da aceleração angular, podemos substituir o valor de
:
Então, a aceleração angular em função do tempo é:
Passo 5
Para a parte (b) do exercício, vamos calcular a aceleração instantânea em
e a aceleração angular média no intervalo de
até
.
Primeiro, a aceleração instantânea é simplesmente
avaliada em
:
Passo 6
Agora, para encontrar a aceleração angular média (
) no intervalo de
a
, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos
, que é a variação da velocidade angular nesse intervalo.
Passo 7
Calculando as velocidades angulares nos instantes
e
:
Para
:
Para
:
Então,
.
Passo 8
Agora,
.
Substituindo na fórmula da aceleração média:
Passo 9
Finalmente, precisamos comparar a aceleração instantânea em
(
) com a aceleração angular média (
).
Essas duas grandezas são diferentes porque a aceleração angular não é constante ao longo do tempo. A aceleração instantânea mede a taxa de variação da velocidade exatamente em
, enquanto a aceleração média considera toda a variação da velocidade no intervalo de tempo.
Resposta
(a) A aceleração angular em função do tempo é
.
(b) A aceleração instantânea em
é
e a aceleração angular média no intervalo de
a
é
. Elas são diferentes porque a aceleração angular varia com o tempo, tornando a aceleração instantânea em um ponto específico diferente da média ao longo de um intervalo.