Uma pessoa parte de um ponto
em direção a leste a
. Um minuto depois, outra pessoa parte de
em direção norte a
. A que taxa está variando a distância entre elas 1 minuto após a partida da segunda pessoa?
Passo 1
Resumo do problema: Duas pessoas partem do ponto A. A primeira sai às 0 s em direção a leste com velocidade constante de 3 m/s. A segunda sai 1 min (60 s) depois em direção ao norte com velocidade constante de 2,5 m/s. Queremos a taxa de variação da distância entre elas exatamente 1 min (mais 60 s) após a partida da segunda, ou seja, no instante t = 120 s contados desde a partida da primeira.
Passo 2
Definição das variáveis e velocidades: Seja x(t) a distância da primeira pessoa a leste de A e y(t) a distância da segunda a norte de A. Como a primeira começa em t = 0, temos
portanto
A segunda começa em t = 60 s, então para t\ge60:
logo
Passo 3
Equação da distância e diferenciação: A distância D entre elas satisfaz o teorema de Pitágoras:
Diferenciando em relação ao tempo t:
ou seja
Passo 4
Cálculo no instante desejado t = 120 s: Primeiro calculamos x, y e D:
Agora:
Resposta
A taxa de variação da distância, 1 min após a partida da segunda pessoa, é de
(aprox. 3,73 m/s).