Uma pessoa parte de um ponto A em direção a leste a 3 m / s. Um minuto depois, outra pessoa parte de A em direção norte a 2,5 m / s. A que taxa está variando a distância entre elas 1 minuto após a partida da segunda pessoa?

Passo 1

Resumo do problema: Duas pessoas partem do ponto A. A primeira sai às 0 s em direção a leste com velocidade constante de 3 m/s. A segunda sai 1 min (60 s) depois em direção ao norte com velocidade constante de 2,5 m/s. Queremos a taxa de variação da distância entre elas exatamente 1 min (mais 60 s) após a partida da segunda, ou seja, no instante t = 120 s contados desde a partida da primeira.

Passo 2

Definição das variáveis e velocidades: Seja x(t) a distância da primeira pessoa a leste de A e y(t) a distância da segunda a norte de A. Como a primeira começa em t = 0, temos
x(t)=3t,
portanto
dxdt=3 m/s
A segunda começa em t = 60 s, então para t\ge60:
y(t)=2,5,(t-60),
logo
dydt=2,5 m/s

Passo 3

Equação da distância e diferenciação: A distância D entre elas satisfaz o teorema de Pitágoras:
D^2=x^2+y^2
Diferenciando em relação ao tempo t:
2DdDdt=2xdxdt+2ydydt,
ou seja
dDdt=x,dx/dt+y,dy/dtD

Passo 4

Cálculo no instante desejado t = 120 s: Primeiro calculamos x, y e D:
x(120)=3times120=360 m,
y(120)=2,5times(120-60)=150 m,
D=raiz360^2+150^2=raiz152100=390 m
Agora:
dDdt=360cdot3+150cdot2,5390=1080+375390=1455390=9726 m/s

Resposta

A taxa de variação da distância, 1 min após a partida da segunda pessoa, é de dfrac9726,m/s (aprox. 3,73 m/s).

Exercícios relacionados