Questăo 2 [ 2,5 pontos]: A densidade de corrente J no interior de um fio cilindrico longo de raio R é paralela ao eixo central e o módulo é dado por
, onde r é a distância do eixo central do cilindro a um ponto qualquer no cilindro. Determine:
(a)
O campo magnético para
.
(b)
O campo magnético para
.
(c)
Faça o gráfico do módulo do campo magnético em função de
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo:
- Informação: temos um fio cilíndrico longo de raio
. - Informação: a densidade de corrente elétrica é paralela ao eixo do cilindro (ou seja, direção
) e o módulo varia com a distância radial segundo
onde
é uma constante e
é a distância do eixo central até o ponto considerado (isto é,
dentro do fio).
- Pedido (a): determine o campo magnético
para . - Pedido (b): determine o campo magnético
para . - Pedido (c): faça o gráfico do módulo
em função de (descrição do comportamento e características do gráfico).
Nenhuma outra informação numérica é dada; esperamos expressões em termos de
,
e
.
Passo 2
Por simetria (isto é, o fio é longíssimo, a densidade de corrente depende só de
e a direção da corrente é axial), o campo magnético esperado em torno do fio é tangencial às circunferências centradas no eixo — isto é, na direção azimutal
— e seu módulo depende apenas de
. Não estou resolvendo ainda, só explicando a consequência da simetria:
com
função só de
. Essa observação justifica usar uma lei que relaciona circulação de
com corrente envolvida (a Lei de Ampère).
Passo 3
Apresento a ferramenta que vamos usar (aqui dou a “aula” curta e necessária):
- Lei de Ampère (na forma integral, válida para magnetostática, sem campos variando no tempo):
onde
é um contorno fechado e
é a corrente total que atravessa a superfície limitada por
. A constante
é a permeabilidade do vácuo.
- Escolhemos como curva
uma circunferência de raio , centrada no eixo do fio, no plano perpendicular ao eixo. Por simetria, é tangencial e constante ao longo dessa circunferência, então a integral do lado esquerdo fica simples:
Portanto:
Agora precisamos calcular
, que é a corrente atravessando o disco de raio
centrado no eixo.
Passo 4
Cálculo da corrente envolvida para
(corrente interior até um raio
):
- A densidade volumétrica de corrente é
. Para obter a corrente que passa pelo disco de raio integrarmos sobre a área da seção transversal (o fio é longo, corrente é ao longo de ), usando coordenadas cilíndricas. - Elemento de área anular (anel fino entre
e ) é . - Assim a corrente envolvida é
Faço a integral explicitamente:
Portanto
Passo 5
Usando o resultado do passo anterior na expressão de Ampère para
:
Isolando
:
Assim, para
o campo magnético é
Aqui
é a direção azimutal (tangencial às circunferências ao redor do eixo); o sentido é dado pela regra da mão direita em relação à corrente (se
aponta em
,
circula no sentido
positivo).
Passo 6
Cálculo da corrente total que atravessa toda a seção do fio (útil para o caso
):
- Basta avaliar
em :
Passo 7
Agora aplico Ampère para
. Neste caso a corrente envolvida pela circunferência de raio
é a corrente total
. Então:
Isolando
para
:
Portanto, para
,
Passo 8
Verificações e comentários didáticos:
- Continuidade em
: avaliando a expressão interna em obtemos
e a expressão externa em
dá
Portanto
é contínuo em
. A derivada em
no ponto
muda de comportamento (uma função cresce como
dentro e depois decai como
fora), então há mudança de inclinação no ponto.
- Direção: como a corrente está ao longo de
, o campo magnético tem direção azimutal ; o sinal aqui assume que e aponta em .
Passo 9
Gráfico do módulo
versus
(descrição e características, para você desenhar facilmente na prova):
- Para
,
ou seja, o módulo cresce como
a partir de zero no eixo (
) até um máximo em
igual a
.
- Para
,
ou seja, fora do fio o módulo decai como
.
- Ao desenhar: no eixo horizontal coloque
(marque e ), eixo vertical . A curva começa em zero, sobe suavemente e rapidamente (curvatura positiva) como até , alcança o valor , e para descreve uma cauda que decresce aproximadamente hiperbólica (proporcional a ). A curva é contínua em mas com mudança de inclinação. Isso é tudo o que precisa para o gráfico qualitativo pedido na prova.
Resposta
gráfico: cresce como
até
(valor
) e decai como
para
.]