Questăo 2 [ 2,5 pontos]: A densidade de corrente J no interior de um fio cilindrico longo de raio R é paralela ao eixo central e o módulo é dado por J=J 0 . r^{2} / R^{2}, onde r é a distância do eixo central do cilindro a um ponto qualquer no cilindro. Determine:
(a) [\mathbf{1}, \mathbf{0}] O campo magnético para \mathbf{r}<\mathbf{R}.
(b) [1,0] O campo magnético para r>R.
(c) [0,5] Faça o gráfico do módulo do campo magnético em função de r.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo:
  • Informação: temos um fio cilíndrico longo de raio \,R.
  • Informação: a densidade de corrente elétrica é paralela ao eixo do cilindro (ou seja, direção \hat{\mathbf{z}}) e o módulo varia com a distância radial r segundo
J(r)=J_0\,\frac{r^{2}}{R^{2}},
onde \,J_0 é uma constante e r é a distância do eixo central até o ponto considerado (isto é, 0\le r\le R dentro do fio).
  • Pedido (a): determine o campo magnético \mathbf{B} para \,r<R.
  • Pedido (b): determine o campo magnético \mathbf{B} para \,r>R.
  • Pedido (c): faça o gráfico do módulo |\mathbf{B}| em função de \,r (descrição do comportamento e características do gráfico).
Nenhuma outra informação numérica é dada; esperamos expressões em termos de \,J_0, \,R e \,\mu_0.

Passo 2

Por simetria (isto é, o fio é longíssimo, a densidade de corrente depende só de r e a direção da corrente é axial), o campo magnético esperado em torno do fio é tangencial às circunferências centradas no eixo — isto é, na direção azimutal \hat{\boldsymbol{\varphi}} — e seu módulo depende apenas de r. Não estou resolvendo ainda, só explicando a consequência da simetria: \mathbf{B}(r)=B_\varphi(r)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} com B_\varphi função só de r. Essa observação justifica usar uma lei que relaciona circulação de \mathbf{B} com corrente envolvida (a Lei de Ampère).

Passo 3

Apresento a ferramenta que vamos usar (aqui dou a “aula” curta e necessária):
  • Lei de Ampère (na forma integral, válida para magnetostática, sem campos variando no tempo):
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} = \mu_{0}\, I_{\text{enc}},
onde \mathcal{C} é um contorno fechado e I_{\text{enc}} é a corrente total que atravessa a superfície limitada por \mathcal{C}. A constante \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo.
  • Escolhemos como curva \mathcal{C} uma circunferência de raio r, centrada no eixo do fio, no plano perpendicular ao eixo. Por simetria, \mathbf{B} é tangencial e constante ao longo dessa circunferência, então a integral do lado esquerdo fica simples:
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} = B_\varphi(r)\,(2\pi r).
Portanto:
B_\varphi(r)\,(2\pi r)=\mu_{0}\, I_{\text{enc}}(r).
Agora precisamos calcular I_{\text{enc}}(r), que é a corrente atravessando o disco de raio r centrado no eixo.

Passo 4

Cálculo da corrente envolvida para \,r<R (corrente interior até um raio r):
  • A densidade volumétrica de corrente é \mathbf{J}(r')=J_0\frac{r'^{2}}{R^{2}}\hat{\mathbf{z}}. Para obter a corrente que passa pelo disco de raio r integrarmos \mathbf{J} sobre a área da seção transversal (o fio é longo, corrente é ao longo de z), usando coordenadas cilíndricas.
  • Elemento de área anular (anel fino entre r' e r'+dr') é dA = 2\pi r' dr'.
  • Assim a corrente envolvida é
I_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r} J(r')\, dA =\int_{0}^{r} J_0\frac{{r'}^{2}}{R^{2}}\,(2\pi r' dr').
Faço a integral explicitamente:
I_{\text{enc}}(r)=2\pi \frac{J_0}{R^{2}}\int_{0}^{r} {r'}^{3}\,dr' =2\pi \frac{J_0}{R^{2}}\left[\frac{{r'}^{4}}{4}\right]_{0}^{r}.
Portanto
I_{\text{enc}}(r)=2\pi \frac{J_0}{R^{2}}\cdot\frac{r^{4}}{4} =\frac{\pi J_0\, r^{4}}{2 R^{2}}.

Passo 5

Usando o resultado do passo anterior na expressão de Ampère para \,r<R:
B_\varphi(r)\,(2\pi r)=\mu_{0}\, I_{\text{enc}}(r) =\mu_{0}\,\frac{\pi J_0\, r^{4}}{2 R^{2}}.
Isolando B_\varphi(r):
B_\varphi(r)=\frac{\mu_{0}}{2\pi r}\cdot\frac{\pi J_0\, r^{4}}{2 R^{2}} =\frac{\mu_{0} J_0\, r^{3}}{4 R^{2}}.
Assim, para \,r<R o campo magnético é
\mathbf{B}(r)=\frac{\mu_{0} J_0\, r^{3}}{4 R^{2}}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
Aqui \hat{\boldsymbol{\varphi}} é a direção azimutal (tangencial às circunferências ao redor do eixo); o sentido é dado pela regra da mão direita em relação à corrente (se \mathbf{J} aponta em +\hat{\mathbf{z}}, \mathbf{B} circula no sentido \hat{\boldsymbol{\varphi}} positivo).

Passo 6

Cálculo da corrente total que atravessa toda a seção do fio (útil para o caso \,r>R):
  • Basta avaliar I_{\text{enc}}(r) em r=R:
I_{\text{total}}=I_{\text{enc}}(R)=\frac{\pi J_0\, R^{4}}{2 R^{2}}=\frac{\pi J_0\, R^{2}}{2}.

Passo 7

Agora aplico Ampère para \,r>R. Neste caso a corrente envolvida pela circunferência de raio r é a corrente total I_{\text{total}}. Então:
B_\varphi(r)\,(2\pi r)=\mu_{0}\, I_{\text{total}}=\mu_{0}\,\frac{\pi J_0\, R^{2}}{2}.
Isolando B_\varphi(r) para \,r>R:
B_\varphi(r)=\frac{\mu_{0}}{2\pi r}\cdot\frac{\pi J_0\, R^{2}}{2} =\frac{\mu_{0} J_0\, R^{2}}{4 r}.
Portanto, para \,r>R,
\mathbf{B}(r)=\frac{\mu_{0} J_0\, R^{2}}{4 r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.

Passo 8

Verificações e comentários didáticos:
  • Continuidade em r=R: avaliando a expressão interna em r=R obtemos
B_\varphi(R^-)=\frac{\mu_{0} J_0\, R^{3}}{4 R^{2}}=\frac{\mu_{0} J_0\, R}{4},
e a expressão externa em r=R
B_\varphi(R^+)=\frac{\mu_{0} J_0\, R^{2}}{4 R}=\frac{\mu_{0} J_0\, R}{4}.
Portanto |\mathbf{B}| é contínuo em r=R. A derivada em r no ponto R muda de comportamento (uma função cresce como r^{3} dentro e depois decai como 1/r fora), então há mudança de inclinação no ponto.
  • Direção: como a corrente está ao longo de \hat{\mathbf{z}}, o campo magnético tem direção azimutal \hat{\boldsymbol{\varphi}}; o sinal aqui assume que J_0>0 e \mathbf{J} aponta em +\hat{\mathbf{z}}.

Passo 9

Gráfico do módulo |\mathbf{B}| versus r (descrição e características, para você desenhar facilmente na prova):
  • Para 0\le r\le R,
|\mathbf{B}(r)|=\frac{\mu_{0} J_0\, r^{3}}{4 R^{2}},
ou seja, o módulo cresce como r^{3} a partir de zero no eixo ( r=0) até um máximo em r=R igual a \frac{\mu_{0} J_0 R}{4}.
  • Para r\ge R,
|\mathbf{B}(r)|=\frac{\mu_{0} J_0\, R^{2}}{4 r},
ou seja, fora do fio o módulo decai como 1/r.
  • Ao desenhar: no eixo horizontal coloque r (marque r=0 e r=R), eixo vertical |\mathbf{B}|. A curva começa em zero, sobe suavemente e rapidamente (curvatura positiva) como r^{3} até r=R, alcança o valor \frac{\mu_{0} J_0 R}{4}, e para r>R descreve uma cauda que decresce aproximadamente hiperbólica (proporcional a 1/r). A curva é contínua em r=R mas com mudança de inclinação. Isso é tudo o que precisa para o gráfico qualitativo pedido na prova.

Resposta

\displaystyle \text{(a) }\mathbf{B}(r)=\frac{\mu_{0} J_0\, r^{3}}{4 R^{2}}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\quad (r<R)\)\n \(\displaystyle \text{(b) }\mathbf{B}(r)=\frac{\mu_{0} J_0\, R^{2}}{4 r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\quad (r>R)\)\n \(\displaystyle \text{\text{(c)} }|\mathbf{B}(r)|=\begin{cases} \displaystyle \frac{\mu_{0} J_0\, r^{3}}{4 R^{2}}, & 0\le r\le R,\\[6pt] \displaystyle \frac{\mu_{0} J_0\, R^{2}}{4 r}, & r\ge R, \end{cases}\\ gráfico: cresce como r^{3} até r=R (valor \mu_{0} J_0 R/4) e decai como 1/r para r>R.]

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