Ptos. Verificar se os seguintes campos são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potêncial.
Passo 1
A questão pede para verificar se o campo
é conservativo em algum domínio e, se for, encontrar sua função potencial. O conteúdo envolve teoria de campos vetoriais conservativos, critério do rotor (curl) e integração de componentes para achar a potencial.
Passo 2
Para campo
, um critério prático é: se as componentes
são diferenciáveis num domínio simplesmente conectado e
, então
é conservativo. Aqui nosso domínio natural é
, que é aberto e simplesmente conectado, e as funções
são infinitamente suaves.
Passo 3
Vamos calcular o rotor:
A primeira componente é
A segunda componente é
A terceira componente é
Logo
.
Passo 4
Como o rotor é nulo em
e este domínio é simplesmente conectado, concluímos que
é de fato um campo conservativo em
.
Passo 5
Para achar a função potencial
, usamos
integramos em
Passo 6
Em seguida impomos
então
$$
C(y,z)=\int12ey,dy=12ey+D(z).
$$
Passo 7
Por fim aplicamos
logo
$$
D(z)=\int3ez,dz=3ez+constante.
$$
Resposta
O campo é conservativo em
e uma função potencial é
, com
constante.