1 , 5 Ptos. Verificar se os seguintes campos são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potêncial.
g(x, y, z)=(e^x, 12 e^y, 3 e^z)

Passo 1

A questão pede para verificar se o campo vec g(x,y,z)=(e^x,12e^y,3e^z) é conservativo em algum domínio e, se for, encontrar sua função potencial. O conteúdo envolve teoria de campos vetoriais conservativos, critério do rotor (curl) e integração de componentes para achar a potencial.

Passo 2

Para campo vec F=(P,Q,R), um critério prático é: se as componentes P,Q,R são diferenciáveis num domínio simplesmente conectado e nablatimesvec F=vec0, então vec F é conservativo. Aqui nosso domínio natural é R^3, que é aberto e simplesmente conectado, e as funções e^x, e^y, e^z são infinitamente suaves.

Passo 3

Vamos calcular o rotor:
A primeira componente é
(nablatimesvec g)1 = partial Rpartial y - partial Qpartial z = partial (3e^z)partial y - partial(12e^y)partial z = 0 - 0 = 0
A segunda componente é
(nablatimesvec g)2 = partial Ppartial z - partial Rpartial x = partial(e^x)partial z - partial(3e^z)partial x = 0 - 0 = 0
A terceira componente é
(nablatimesvec g)3 = partial Qpartial x - partial Ppartial y = partial(12e^y)partial x - partial(e^x)partial y = 0 - 0 = 0
Logo nablatimesvec g=vec0.

Passo 4

Como o rotor é nulo em R^3 e este domínio é simplesmente conectado, concluímos que vec g é de fato um campo conservativo em R^3.

Passo 5

Para achar a função potencial phi(x,y,z), usamos
partialphipartial x=e^x,
integramos em x mantendo y,z fixos:
phi(x,y,z)=integral e^x,dx=e^x+C(y,z)

Passo 6

Em seguida impomos
partialphipartial y=partial Cpartial y(y,z)=12e^y,
então
$$
C(y,z)=\int12ey,dy=12ey+D(z).
$$

Passo 7

Por fim aplicamos
partialphipartial z=D'(z)=3e^z,
logo
$$
D(z)=\int3ez,dz=3ez+constante.
D(z)=integral3e^z,dz=3e^z+constante \phi(x,y,z)=ex+12ey+3e^z+constante.
$$

Resposta

O campo é conservativo em R^3 e uma função potencial é phi(x,y,z)=e^x+12e^y+3e^z+C, com C constante.

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