Se um homem adquirir um bilhete de loteria, poderá ganhar um primeiro prêmio de
ou um segundo de
, com as probabilidades de 0,001 e de 0,003. Qual será o preço justo a pagar pelo bilhete?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que um homem pode ganhar um prêmio de R$ 100.000,00 com uma probabilidade de 0,001 ou um segundo prêmio de R$ 70.000,00 com uma probabilidade de 0,003 ao comprar um bilhete de loteria. Nosso objetivo é descobrir qual é o preço justo que ele deve pagar por esse bilhete. Para isso, vamos usar o conceito de valor esperado, que nos ajuda a calcular o valor médio que se espera ganhar em situações de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é valor esperado. O valor esperado é uma média ponderada dos possíveis resultados, onde cada resultado é multiplicado pela sua probabilidade. Basicamente, ele nos dá uma ideia de quanto, em média, você pode esperar ganhar (ou perder) em uma situação de risco.
A fórmula do valor esperado (E) é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. Temos três possíveis resultados ao comprar o bilhete:
- Ganhar R$ 100.000,00 com probabilidade de 0,001.
- Ganhar R$ 70.000,00 com probabilidade de 0,003.
- Não ganhar nenhum prêmio com a probabilidade restante.
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de não ganhar nenhum prêmio. A soma das probabilidades de ganhar os prêmios é:
Então, a probabilidade de não ganhar nada é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor esperado usando todas essas possibilidades:
Vamos fazer as contas passo a passo:
- Primeiro prêmio: R$ 100.000,00 × 0,001 = R$ 100,00
- Segundo prêmio: R$ 70.000,00 × 0,003 = R$ 210,00
- Não ganhar nada: R$ 0 × 0,996 = R$ 0,00
Passo 5
Agora, somamos todos esses valores para encontrar o valor esperado total:
Resposta
O preço justo a pagar pelo bilhete de loteria é de R$ 310,00.