Um homem de altura H está caminhando em direção a um poste de iluminação com altura P. Supomos que o poste é mais alto que o homem. Num certo instante ele se move com velocidade v. Determine com que velocidade se move, neste instante:
b) o tamanho da sua sombra.

Passo 1

Resumo do enunciado: Um homem de altura H caminha em direção a um poste de iluminação de altura P>H com velocidade v. Precisamos encontrar a velocidade de variação do comprimento de sua sombra s(t) usando semelhança de triângulos e derivadas.
Definição das variáveis: seja x(t) a distância do homem ao poste e s(t) o comprimento da sombra. Como o homem se aproxima do poste com velocidade v, temos dxdt=-v (sinal negativo indica que x diminui).

Passo 2

Relação geométrica pela semelhança de triângulos: a razão entre altura e sombra do homem é igual à razão entre altura e distância total (poste e sombra) do poste:
H,/,s = P,/,(x+s)

Passo 3

Resolvendo para s:
H(x+s)=Ps implies Hx + Hs = Ps implies Hx = (P - H)s implies s = HP - H,x

Passo 4

Derivando ambos os lados em relação a t:
dsdt = HP-H,dxdt

Passo 5

Substituindo dxdt=-v:
dsdt = -HP-H,v

Passo 6

O sinal negativo indica que o comprimento da sombra está diminuindo à medida que o homem se aproxima.

Resposta

dsdt = -HP - H,v.

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