Um homem de altura
está caminhando em direção a um poste de iluminação com altura
. Supomos que o poste é mais alto que o homem. Num certo instante ele se move com velocidade
. Determine com que velocidade se move, neste instante:
b) o tamanho da sua sombra.
b) o tamanho da sua sombra.
Passo 1
Resumo do enunciado: Um homem de altura
caminha em direção a um poste de iluminação de altura
com velocidade
. Precisamos encontrar a velocidade de variação do comprimento de sua sombra
usando semelhança de triângulos e derivadas.
Definição das variáveis: seja a distância do homem ao poste e
o comprimento da sombra. Como o homem se aproxima do poste com velocidade
, temos
(sinal negativo indica que
diminui).
Definição das variáveis: seja
Passo 2
Relação geométrica pela semelhança de triângulos: a razão entre altura e sombra do homem é igual à razão entre altura e distância total (poste e sombra) do poste:
Passo 3
Resolvendo para
:
Passo 4
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Substituindo
:
Passo 6
O sinal negativo indica que o comprimento da sombra está diminuindo à medida que o homem se aproxima.