Verifique se a seguinte equação admite, pelo menos, uma raiz real:
cos (x)-x=0

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos verificar se a equação cos(x)-x=0 tem pelo menos uma solução real. O conteúdo envolve funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário (TVI).

Passo 2

Definimos a função f(x)=cos(x)-x. Como cos(x) e x são contínuas em R, a soma e subtração também são contínuas, logo f(x) é contínua em R.

Passo 3

Calculamos alguns valores de f:
f(0)=cos(0)-0=1>0
f(1)=cos(1)-1approx0,5403-1=-0,4597<0
Portanto f(0) e f(1) têm sinais opostos.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal num intervalo [a,b], então existe cin(a,b) tal que f(c)=0. Aqui f(0)>0 e f(1)<0, logo existe cin(0,1) com f(c)=0, ou seja, há pelo menos uma raiz real.

Passo 5

Adicionalmente, notamos que f'(x)=-sin(x)-1<0 para todo x, o que mostra que f é estritamente decrescente e, portanto, essa raiz é única.

Resposta

Sim. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz real em (0,1).

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