Verifique se a seguinte equação admite, pelo menos, uma raiz real:
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos verificar se a equação
tem pelo menos uma solução real. O conteúdo envolve funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Passo 2
Definimos a função
. Como
e
são contínuas em
, a soma e subtração também são contínuas, logo
é contínua em
.
Passo 3
Calculamos alguns valores de
:
Portanto e
têm sinais opostos.
Portanto
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal num intervalo
, então existe
tal que
. Aqui
e
, logo existe
com
, ou seja, há pelo menos uma raiz real.
Passo 5
Adicionalmente, notamos que
para todo
, o que mostra que
é estritamente decrescente e, portanto, essa raiz é única.
Resposta
Sim. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz real em
.