1. Uma luz está no alto de um poste de 5 m . Um menino de 1,6 m se afasta do poste à razão 1,2 m / s. A que taxa aumenta o comprimento de sua sombra quando ele está a 6 m do poste? A que taxa se move a ponta de sua sombra?
  2. A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio. Se a altura da pilha aumenta à razão de 15 cm / min, determine a taxa à qual a areia está escoando quando a altura da pilha é 25 cm .

Passo 1

Estamos lidando com dois exercícios de taxas relacionadas (related rates). No primeiro, uma lâmpada de 5 m de altura ilumina um menino de 1,6 m que se afasta a 1,2 m/s do poste; queremos a taxa de variação do comprimento da sombra e a velocidade da ponta dela quando o menino está a 6 m do poste. No segundo, uma pilha de areia em forma de cone tem sempre altura igual ao raio; a altura cresce a 15 cm/min, e precisamos da taxa de variação do volume quando a altura vale 25 cm.

Passo 2

Para o exercício 24, definimos:
5x+y=1.6y: distância do menino ao poste;
5y=1.6(x+y)Longrightarrow5y=1.6x+1.6yLongrightarrow3.4y=1.6xLongrightarrow y=1.63.4x=817x: comprimento da sombra;
– relação entre triângulos semelhantes: a razão entre alturas é igual à razão entre bases:
y=817xLongrightarrowdydt=817dxdtMultiplicando em cruz obtemos
dydt=817times1.2=9.617=4885approx0.565 m/sAgora derivamos implicitamente em relação ao tempo t:
d(x+y)dt=1.2+4885=102+4885=15085=3017approx1.765 m/sComo m/s, temos
A velocidade da ponta da sombra é \(
\frac{d(x+y)}{dt}=\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}\):

Passo 3

Para o exercício 25, como a pilha é cilíndrica com altura igual ao raio ($h=r$), o volume do cone é
h=rSubstituindo V=13pi r^2h obtemos
V=13pi h^3Derivando em relação a t:
dVdt=pi h^2dhdtCom dVdt=pitimes25^2times15=9375pi cm^3/min cm e cm/min:

Resposta

  1. O comprimento da sombra cresce a 48/85 m/s (≈0.565 m/s) e a ponta da sombra se move a 30/17 m/s (≈1.765 m/s) quando o menino está a 6 m do poste.
  2. A areia escoa à taxa de 9375π cm³/min quando a altura da pilha é 25 cm.

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