- Uma luz está no alto de um poste de 5 m . Um menino de
se afasta do poste à razão
. A que taxa aumenta o comprimento de sua sombra quando ele está a
do poste? A que taxa se move a ponta de sua sombra?
- A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio. Se a altura da pilha aumenta à razão de
, determine a taxa à qual a areia está escoando quando a altura da pilha é 25 cm .
Passo 1
Estamos lidando com dois exercícios de taxas relacionadas (related rates). No primeiro, uma lâmpada de 5 m de altura ilumina um menino de 1,6 m que se afasta a 1,2 m/s do poste; queremos a taxa de variação do comprimento da sombra e a velocidade da ponta dela quando o menino está a 6 m do poste. No segundo, uma pilha de areia em forma de cone tem sempre altura igual ao raio; a altura cresce a 15 cm/min, e precisamos da taxa de variação do volume quando a altura vale 25 cm.
Passo 2
Para o exercício 24, definimos:
– : distância do menino ao poste;
– : comprimento da sombra;
– relação entre triângulos semelhantes: a razão entre alturas é igual à razão entre bases:
–
–
– relação entre triângulos semelhantes: a razão entre alturas é igual à razão entre bases:
\frac{d(x+y)}{dt}=\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}\):
Passo 3
Para o exercício 25, como a pilha é cilíndrica com altura igual ao raio ($h=r$), o volume do cone é
Resposta
- O comprimento da sombra cresce a 48/85 m/s (≈0.565 m/s) e a ponta da sombra se move a 30/17 m/s (≈1.765 m/s) quando o menino está a 6 m do poste.
- A areia escoa à taxa de 9375π cm³/min quando a altura da pilha é 25 cm.