Um papagaio (pipa) a 100 metros acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade de 3 metros por segundo. A que taxa está decrescendo o ângulo entre a linha e a horizontal depois de 200 metros de linha serem soltos?
Passo 1
Neste problema temos um papagaio a uma altura constante de 100 m que se afasta horizontalmente a 3 m/s e, após serem soltos 200 m de linha, queremos a taxa de variação do ângulo θ entre a linha e a horizontal. O conteúdo aqui é de taxas relacionadas usando trigonometria e derivadas.
Passo 2
Definimos as variáveis:
• x(t): distância horizontal do papagaio (em metros), com dx/dt = 3 m/s.
• h = 100 m (altura constante).
• s(t): comprimento da linha, com s² = x² + h².
• θ(t): ângulo entre a linha e a horizontal. Pela trigonometria, temos
• x(t): distância horizontal do papagaio (em metros), com dx/dt = 3 m/s.
• h = 100 m (altura constante).
• s(t): comprimento da linha, com s² = x² + h².
• θ(t): ângulo entre a linha e a horizontal. Pela trigonometria, temos
Passo 3
Diferenciamos implicitamente em relação ao tempo t a equação
. Como h é constante, aplicamos a derivada de
e de
:
Passo 4
Para isolar
, usamos
e lembramos que
. Logo:
então
Passo 5
No instante pedido temos s = 200 m, h = 100 m e dx/dt = 3 m/s. Substituindo: