Um papagaio (pipa) a 100 metros acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade de 3 metros por segundo. A que taxa está decrescendo o ângulo entre a linha e a horizontal depois de 200 metros de linha serem soltos?

Passo 1

Neste problema temos um papagaio a uma altura constante de 100 m que se afasta horizontalmente a 3 m/s e, após serem soltos 200 m de linha, queremos a taxa de variação do ângulo θ entre a linha e a horizontal. O conteúdo aqui é de taxas relacionadas usando trigonometria e derivadas.

Passo 2

Definimos as variáveis:
• x(t): distância horizontal do papagaio (em metros), com dx/dt = 3 m/s.
• h = 100 m (altura constante).
• s(t): comprimento da linha, com s² = x² + h².
• θ(t): ângulo entre a linha e a horizontal. Pela trigonometria, temos
tan(θ) = hx

Passo 3

Diferenciamos implicitamente em relação ao tempo t a equação tan(θ)=h/x. Como h é constante, aplicamos a derivada de tan(θ) e de 1/x:
sec^2(θ)dθdt = -hx^2dxdt

Passo 4

Para isolar dθ/dt, usamos sec^2(θ)=1/cos^2(θ) e lembramos que cos(θ)=x/s. Logo:
sec^2(θ)=s^2x^2,
então
dθdt = -hx^2dxdtcdot1sec^2(θ) = -hx^2dxdtcdotx^2s^2 = -hs^2dxdt

Passo 5

No instante pedido temos s = 200 m, h = 100 m e dx/dt = 3 m/s. Substituindo:
dθdt = -100200^2cdot 3 = -30040000 = -3400 rad/s

Resposta

-tfrac3400 rad/s

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