Um homem empurra uma caixa de 24 kg sobre um piso sem atrito. A caixa começa a se mover a partir do repouso. O homem inicialmente empurra a caixa bem devagar, porém aos poucos aumenta sua força, de modo que a força que ele exerce sobre a caixa varia com o tempo de acordo com a expressão F=(8 \mathrm{~N} / \mathrm{s}) t. Após 3 s , ele pára de empurrar a caixa. A força é sempre exercida com a mesma orientação. (a) Qual é a velocidade da caixa após 3 s ? (b) Qual a distância percorrida pela caixa durante 3 s ? (c) Qual é a velocidade média da caixa entre 0 s e 3 s ? (d) Qual é a força média que o homem exerce sobre a caixa enquanto a empurra?

Passo 1

O enunciado dá uma caixa de massa m=24\:\mathrm{kg} sobre piso sem atrito, empurrada a partir do repouso por uma força que varia com o tempo segundo
F(t) = (8\:\mathrm{N/s})\,t.
Precisamos achar a velocidade após 3\:\mathrm{s}, a distância percorrida nesse intervalo, a velocidade média e a força média. Vamos usar a Segunda Lei de Newton F=ma e cálculos de integração.

Passo 2

Da Segunda Lei, a aceleração é
a(t)=\frac{F(t)}{m} = \frac{8\,t}{m}.
Como a = \frac{dv}{dt}, integramos de 0 a t para achar v(t):
v(t) = \int_{0}^{t} a(t')\,dt' = \int_{0}^{t} \frac{8\,t'}{m}\,dt' = \frac{8}{m}\,\frac{t^2}{2} = \frac{4}{m}\,t^2.

Passo 3

Substituindo t=3\:\mathrm{s} em v(t):
v(3) = \frac{4}{24}\,(3)^2 = \frac{4}{24}\cdot9 = \tfrac{36}{24} = 1{,}5\:\mathrm{m/s}.

Passo 4

Para a posição, usamos v(t)=dx/dt e integramos
x(t) = \int_{0}^{t} v(t')\,dt' = \int_{0}^{t} \frac{4}{m}\,{t'}^2\,dt' = \frac{4}{m}\,\frac{t^3}{3} = \frac{4}{3\,m}\,t^3.
Em t=3\:\mathrm{s}:
x(3) = \frac{4}{3\cdot24}\,(3)^3 = \frac{4}{72}\cdot27 = \frac{108}{72} = 1{,}5\:\mathrm{m}.

Passo 5

A velocidade média entre 0 e 3\:\mathrm{s} é
\bar v = \frac{x(3)-x(0)}{3-0} = \frac{1{,}5}{3} = 0{,}5\:\mathrm{m/s}.

Passo 6

A força média é
\bar F = \frac{1}{3}\int_{0}^{3} F(t)\,dt = \frac{1}{3}\int_{0}^{3}8\,t\,dt = \frac{1}{3}\cdot4\,t^2\Big|_{0}^{3} = \frac{1}{3}\cdot4\cdot9 =12\:\mathrm{N}.

Resposta

(a) v(3)=1{,}5\:\mathrm{m/s}.
(b) x(3)=1{,}5\:\mathrm{m}.
(c) \bar v=0{,}5\:\mathrm{m/s}.
(d) \bar F=12\:\mathrm{N}.

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