Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele só pode andar uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita. Se ele andar 10 unidades, qual a probabilidade de chegar no ponto ((6,4)) ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Posição inicial: (0,0).
  • Movimentos permitidos: andar uma unidade para cima ou uma unidade para a direita em cada passo.
  • Número de passos efetuados: 10.
  • Ponto alvo: (6,4).
    Pergunta: qual é a probabilidade de que, após exatamente 10 passos (cada um para cima ou para a direita), o homem termine em (6,4)?

Passo 2

Vamos explicitar uma suposição natural (necessária para calcular probabilidade): cada passo é escolhido aleatoriamente entre as duas opções (cima ou direita), com probabilidades iguais e escolhas independentes. Ou seja, a cada passo a probabilidade de ir para cima é \tfrac{1}{2} e a probabilidade de ir para a direita é \tfrac{1}{2}, e escolhas em passos diferentes não se influenciam.

Passo 3

Entender o que é necessário para chegar em (6,4).
  • Para que a coordenada x seja 6 depois de 10 passos, é preciso ter exatamente 6 passos para a direita.
  • Para que a coordenada y seja 4 depois de 10 passos, é preciso ter exatamente 4 passos para cima.
    Logo, entre os 10 passos precisamos ter exatamente 6 “direitas” ® e 4 “cimas” (U). A ordem desses 6 R e 4 U pode variar.

Passo 4

Contar quantas sequências de passos levam a (6,4) (casos favoráveis).
  • Cada sequência de 10 passos é uma sequência de R e U com exatamente 6 R e 4 U.
  • O número de sequências distintas com exatamente 6 R e 4 U é dado por escolher quais 6 das 10 posições serão R (ou equivalentemente quais 4 serão U). Esse número é o coeficiente binomial
\binom{10}{6}=\binom{10}{4}.
Agora vamos lembrar e usar a definição do coeficiente binomial:
\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Por exemplo, 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.

Passo 5

Calcular \binom{10}{6} passo a passo e simplificando para poder fazer sem calculadora:
\binom{10}{6}=\dfrac{10!}{6!\,4!}.
Podemos cancelar 6! no numerador:
10!=10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6!,
logo
\binom{10}{6}=\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6!}{6!\cdot4!}=\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4!}.
Como 4!=24, temos
\binom{10}{6}=\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{24}.
Calcular passo a passo:
10\cdot9=90,\quad 90\cdot8=720,\quad 720\cdot7=5040,
então
\binom{10}{6}=\dfrac{5040}{24}=210.
Portanto existem 210 sequências favoráveis.

Passo 6

Contar o número total de sequências possíveis de 10 passos (espaço amostral).
  • Em cada um dos 10 passos há 2 escolhas independentes (R ou U).
  • Logo o número total de sequências possíveis é
2^{10}=1024.

Passo 7

Calcular a probabilidade como casos favoráveis dividido por casos possíveis, usando a hipótese de escolhas equiprováveis:
P(\text{chegar em }(6,4))=\dfrac{\text{número de sequências favoráveis}}{\text{número total de sequências}}=\dfrac{210}{1024}.úêáúê
Simplificando a fração por 2:
\dfrac{210}{1024}=\dfrac{105}{512}.
Também é útil ver a expressão via distribuição binomial:
P=\binom{10}{6}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{6}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}=\binom{10}{6}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}=\dfrac{210}{1024},
o que é consistente com o resultado acima. Em forma decimal,
\dfrac{105}{512}\approx 0,20508.

Passo 8

Resumo didático curto (para usar na prova): para chegar em (6,4) em 10 passos é preciso 6 direitas e 4 alturas; o número de ordens possíveis é \binom{10}{6}. Como cada caminho tem probabilidade \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}, a probabilidade total é \binom{10}{6}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}.

Resposta

\dfrac{105}{512}
\approx 0,20508

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