Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele só pode andar uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita. Se ele andar 10 unidades, qual a probabilidade de chegar no ponto ((6,4)) ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Posição inicial:
. - Movimentos permitidos: andar uma unidade para cima ou uma unidade para a direita em cada passo.
- Número de passos efetuados:
. - Ponto alvo:
.
Pergunta: qual é a probabilidade de que, após exatamentepassos (cada um para cima ou para a direita), o homem termine em ?
Passo 2
Vamos explicitar uma suposição natural (necessária para calcular probabilidade): cada passo é escolhido aleatoriamente entre as duas opções (cima ou direita), com probabilidades iguais e escolhas independentes. Ou seja, a cada passo a probabilidade de ir para cima é
e a probabilidade de ir para a direita é
, e escolhas em passos diferentes não se influenciam.
Passo 3
Entender o que é necessário para chegar em
.
- Para que a coordenada
seja depois de passos, é preciso ter exatamente passos para a direita. - Para que a coordenada
seja depois de passos, é preciso ter exatamente passos para cima.
Logo, entre ospassos precisamos ter exatamente “direitas” ® e “cimas” (U). A ordem desses R e U pode variar.
Passo 4
Contar quantas sequências de passos levam a
(casos favoráveis).
- Cada sequência de
passos é uma sequência de R e U com exatamente R e U. - O número de sequências distintas com exatamente
R e U é dado por escolher quais das posições serão R (ou equivalentemente quais serão U). Esse número é o coeficiente binomial
Agora vamos lembrar e usar a definição do coeficiente binomial:
onde
(fatorial de
) é
. Por exemplo,
.
Passo 5
Calcular
passo a passo e simplificando para poder fazer sem calculadora:
Podemos cancelar
no numerador:
logo
Como
, temos
Calcular passo a passo:
então
Portanto existem
sequências favoráveis.
Passo 6
Contar o número total de sequências possíveis de
passos (espaço amostral).
- Em cada um dos
passos há escolhas independentes (R ou U). - Logo o número total de sequências possíveis é
Passo 7
Calcular a probabilidade como casos favoráveis dividido por casos possíveis, usando a hipótese de escolhas equiprováveis:
Simplificando a fração por
:
Também é útil ver a expressão via distribuição binomial:
o que é consistente com o resultado acima. Em forma decimal,
Passo 8
Resumo didático curto (para usar na prova): para chegar em
em
passos é preciso
direitas e
alturas; o número de ordens possíveis é
. Como cada caminho tem probabilidade
, a probabilidade total é
.