Uma esfera condutora está carregada com carga Q.
Definimos o potencial sobre a esfera de raio
como sendo
(já que no infinito o campo se anula).
Se
, qual o valor de
, onde C é a capacitância da esfera?
Dê a resposta com 2 casas decimais.
Definimos o potencial sobre a esfera de raio
Dê a resposta com 2 casas decimais.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números do enunciado).
- Uma esfera condutora carrega uma carga
. - O raio da esfera é
. - O potencial sobre a esfera é definido por
(com o potencial no infinito nulo). - O valor do potencial é
. - O que o enunciado pede: calcular
, onde é a capacitância da esfera.
Nada mais será pedido.
Passo 2
Vamos lembrar duas definições/conceitos que serão usados (explicados de forma direta e prática):
- A capacitância
de um condutor é a razão entre a carga e o potencial do condutor:
onde
é a carga total do condutor e
é o potencial do condutor em relação ao infinito.
- O campo elétrico fora de uma esfera condutora carregada (para
) é igual ao campo de uma carga pontual colocada no centro; isto vem diretamente da lei de Gauss e do fato de que a carga se distribui uniformemente na superfície da esfera. Assim, para :
Aqui
é a permissividade do vácuo,
é a distância ao centro, e
é o vetor radial.
Passo 3
Usamos a expressão do potencial fornecida no enunciado e o campo radial acima para calcular
. Substituindo
no integral:
onde
aponta radialmente para dentro ao integrar de infinito para
, e o produto escalar dá o sinal correto. Agora fazemos a integral escalar em
.
Passo 4
Calcule a integral:
A primitiva de
é
. Portanto
Substituindo:
Ou seja, de forma limpa:
Passo 5
Agora usamos a definição de capacitância
. Reorganizando a relação obtida para
:
Então
Isolando a combinação pedida:
Ou seja, essa fração é simplesmente igual ao raio da esfera. Observe que, mesmo havendo o valor numérico de
no enunciado, para esse quociente específico o potencial cancela — a resposta depende só do raio.
Passo 6
Substituindo o valor numérico do raio
:
O enunciado pede a resposta com duas casas decimais; já está em duas casas decimais.