Uma esfera condutora está carregada com carga Q.
Definimos o potencial sobre a esfera de raio \mathrm{R}=0,24 \mathrm{~m} como sendo V=-\int_{\infty}^{R} \vec{E} \cdot \overrightarrow{d l} (já que no infinito o campo se anula).
Se \mathrm{V}=153 \mathrm{~V}, qual o valor de \frac{C}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_{0}}, onde C é a capacitância da esfera?
Dê a resposta com 2 casas decimais.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números do enunciado).
  • Uma esfera condutora carrega uma carga Q.
  • O raio da esfera é \mathrm{R}=0,24\\ \mathrm{m}.
  • O potencial sobre a esfera é definido por \displaystyle V=-\int_{\infty}^{R}\vec{E}\cdot\overrightarrow{dl} (com o potencial no infinito nulo).
  • O valor do potencial é V=153\\ \text{V}.
  • O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \frac{C}{4\pi\varepsilon_{0}}, onde C é a capacitância da esfera.
    Nada mais será pedido.

Passo 2

Vamos lembrar duas definições/conceitos que serão usados (explicados de forma direta e prática):
  • A capacitância C de um condutor é a razão entre a carga e o potencial do condutor:
C=\frac{Q}{V},
onde Q é a carga total do condutor e V é o potencial do condutor em relação ao infinito.
  • O campo elétrico fora de uma esfera condutora carregada (para r\ge R) é igual ao campo de uma carga pontual Q colocada no centro; isto vem diretamente da lei de Gauss e do fato de que a carga se distribui uniformemente na superfície da esfera. Assim, para r\ge R:
\vec{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\\ \hat{r}.
Aqui \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo, r é a distância ao centro, e \hat{r} é o vetor radial.

Passo 3

Usamos a expressão do potencial fornecida no enunciado e o campo radial acima para calcular V. Substituindo \vec{E} no integral:
V=-\int_{\infty}^{R}\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\int_{\infty}^{R}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\,dr,
onde d\vec{l} aponta radialmente para dentro ao integrar de infinito para R, e o produto escalar dá o sinal correto. Agora fazemos a integral escalar em r.

Passo 4

Calcule a integral:
V=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{\infty}^{R}\frac{1}{r^{2}}\,dr.
A primitiva de r^{-2} é -r^{-1}. Portanto
\int_{\infty}^{R}\frac{1}{r^{2}}\,dr=\left[-\frac{1}{r}\right]_{\infty}^{R}=-\frac{1}{R}-\left(-0\right)=-\frac{1}{R}.
Substituindo:
V=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(-\frac{1}{R}\right)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R}.
Ou seja, de forma limpa:
V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R}.

Passo 5

Agora usamos a definição de capacitância C=Q/V. Reorganizando a relação obtida para V:
Q=4\pi\varepsilon_{0}R\,V.
Então
C=\frac{Q}{V}=4\pi\varepsilon_{0}R.
Isolando a combinação pedida:
\frac{C}{4\pi\varepsilon_{0}}=R.
Ou seja, essa fração é simplesmente igual ao raio da esfera. Observe que, mesmo havendo o valor numérico de V no enunciado, para esse quociente específico o potencial cancela — a resposta depende só do raio.

Passo 6

Substituindo o valor numérico do raio \mathrm{R}=0,24\\ \mathrm{m}:
\frac{C}{4\pi\varepsilon_{0}}=0,24\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede a resposta com duas casas decimais; já está em duas casas decimais.

Resposta

0,24\\ \mathrm{m}

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