Woody está em pé sobre uma tábua de comprimento L que se encontra em repouso sobre uma superfície sem atrito. Em um determinado instante ele caminha até o outro extremo da tábua. Que distância terá Woody percorrido com respeito à superfície se sua massa é M e a massa da tábua é M / 3 ? (Justifique o seu raciocínio).

Passo 1

O enunciado dá: uma tábua de comprimento L e massa \tfrac{M}{3} está em repouso sobre uma superfície sem atrito; Woody, de massa M, está inicialmente em pé em uma extremidade da tábua e caminha até a extremidade oposta. A pergunta é: que distância Woody percorre com respeito à superfície (isto é, medida em relação ao chão)? Informações relevantes listadas:
  • Comprimento da tábua: L.
  • Massa de Woody: M.
  • Massa da tábua: \tfrac{M}{3}.
  • Superfície sem atrito (logo, não há força horizontal externa).
  • Woody caminha de uma extremidade até a outra da tábua (deslocamento relativo entre Woody e tábua é L).
    O que se pede: a distância (um único valor) que Woody desloca em relação à superfície (chão).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado devagar): como a superfície é sem atrito, não existe força externa horizontal atuando sobre o sistema “Woody + tábua”. As únicas forças externas são peso e reação normal, que são verticais. Quando não há força externa líquida na direção horizontal, a posição do centro de massa (CM) do sistema na direção horizontal permanece constante ao longo do tempo. É isso que nos permite relacionar deslocamentos internos (Woody andando sobre a tábua) com deslocamentos do conjunto em relação ao chão.
Fórmula do centro de massa unidimensional para duas massas:
x_{\text{CM}}=\frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1+m_2},
onde m_1,m_2 são as massas e x_1,x_2 suas posições horizontais (medidas em relação a um mesmo referencial). Aqui a ideia é: o CM fica “entre” as massas, ponderado pelas massas.

Passo 3

Escolha de referencial e posições iniciais (passo importante para não se perder):
  • Coloco a origem x=0 no centro da tábua na configuração inicial (antes de Woody começar a andar).
  • Assim, inicialmente o centro da tábua tem posição x_{B,i}=0.
  • Woody está em uma extremidade; como a tábua tem comprimento L, a extremidade esquerda está a -\tfrac{L}{2} do centro. Então a posição inicial de Woody é x_{W,i}=-\tfrac{L}{2}.
  • Notação: subíndices W para Woody, B para tábua, i para inicial e f para final.

Passo 4

Calcular a posição inicial do centro de massa do sistema. Usando a fórmula do CM com m_W=M e m_B=M/3:
x_{\text{CM},i}=\frac{M\cdot\left(-\tfrac{L}{2}\right) + \tfrac{M}{3}\cdot 0}{M+\tfrac{M}{3}}.
Agora simplifico passo a passo. O denominador é
M+\tfrac{M}{3}= \tfrac{4M}{3}.
O numerador é -\tfrac{ML}{2}. Portanto
x_{\text{CM},i}=\frac{-\tfrac{ML}{2}}{\tfrac{4M}{3}}.
Cancelei M e dividi as frações:
x_{\text{CM},i}=-\frac{L}{2}\cdot\frac{3}{4}=-\frac{3L}{8}.

Passo 5

Descrito o estado final em termos de uma incógnita: quando Woody anda até a extremidade oposta, a tábua (por reação) desloca-se também. Seja X o deslocamento do centro da tábua em relação à posição inicial (positivo para a direita, negativo para a esquerda). Assim:
  • posição final do centro da tábua: x_{B,f}=X.
  • Woody, que fica agora na extremidade direita da tábua, está a +\tfrac{L}{2} do centro da tábua (medido em coordenadas do próprio móvel). Então a posição final de Woody no referencial do chão é
x_{W,f}=X+\tfrac{L}{2}.
Lembrando: Woody andou relativamente à tábua uma distância L da extremidade esquerda até a direita, mas o conjunto todo pode ter se deslocado.

Passo 6

Calcular a posição final do centro de massa em função de X. Usando a fórmula do CM:
x_{\text{CM},f}=\frac{M\cdot\left(X+\tfrac{L}{2}\right) + \tfrac{M}{3}\cdot X}{M+\tfrac{M}{3}}.
Somando os termos do numerador:
\text{numerador}=M X + \tfrac{M L}{2} + \tfrac{M}{3}X = \left(M+\tfrac{M}{3}\right)X + \tfrac{M L}{2}.
Como M+\tfrac{M}{3}=\tfrac{4M}{3}, dividir pelo denominador \tfrac{4M}{3} dá:
x_{\text{CM},f}=X + \frac{\tfrac{M L}{2}}{\tfrac{4M}{3}}.
Cancelei M e simplifiquei a fração:
x_{\text{CM},f}=X + \frac{L}{2}\cdot\frac{3}{4}=X+\frac{3L}{8}.

Passo 7

Agora aplico a conservação do centro de massa na direção horizontal: x_{\text{CM},f}=x_{\text{CM},i}. Substituindo os resultados dos Passos 4 e 6:
X+\frac{3L}{8} = -\frac{3L}{8}.
Isolando X:
X = -\frac{3L}{8} - \frac{3L}{8} = -\frac{6L}{8} = -\frac{3L}{4}.
Interpretação: o centro da tábua deslocou-se uma distância \tfrac{3L}{4} para a esquerda (sinal negativo).

Passo 8

Finalmente, a distância que Woody percorre em relação à superfície (o chão) é o deslocamento da sua posição entre final e inicial:
d = x_{W,f}-x_{W,i}.
Substituo x_{W,f}=X+\tfrac{L}{2} e x_{W,i}=-\tfrac{L}{2} e o valor de X:
d = \left(-\frac{3L}{4} + \frac{L}{2}\right) - \left(-\frac{L}{2}\right).
Calculo passo a passo: primeiro -\frac{3L}{4}+\frac{L}{2}=-\frac{3L}{4}+\frac{2L}{4}=-\frac{L}{4}. Então
d = -\frac{L}{4} + \frac{L}{2} = \frac{L}{4}.
Portanto, Woody percorre uma distância \tfrac{L}{4} em relação ao chão.

Resposta

\dfrac{L}{4}

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