Woody está em pé sobre uma tábua de comprimento
que se encontra em repouso sobre uma superfície sem atrito. Em um determinado instante ele caminha até o outro extremo da tábua. Que distância terá Woody percorrido com respeito à superfície se sua massa é
e a massa da tábua é
? (Justifique o seu raciocínio).
Passo 1
O enunciado dá: uma tábua de comprimento
e massa
está em repouso sobre uma superfície sem atrito; Woody, de massa
, está inicialmente em pé em uma extremidade da tábua e caminha até a extremidade oposta. A pergunta é: que distância Woody percorre com respeito à superfície (isto é, medida em relação ao chão)? Informações relevantes listadas:
- Comprimento da tábua:
. - Massa de Woody:
. - Massa da tábua:
. - Superfície sem atrito (logo, não há força horizontal externa).
- Woody caminha de uma extremidade até a outra da tábua (deslocamento relativo entre Woody e tábua é
).
O que se pede: a distância (um único valor) que Woody desloca em relação à superfície (chão).
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicado devagar): como a superfície é sem atrito, não existe força externa horizontal atuando sobre o sistema “Woody + tábua”. As únicas forças externas são peso e reação normal, que são verticais. Quando não há força externa líquida na direção horizontal, a posição do centro de massa (CM) do sistema na direção horizontal permanece constante ao longo do tempo. É isso que nos permite relacionar deslocamentos internos (Woody andando sobre a tábua) com deslocamentos do conjunto em relação ao chão.
Fórmula do centro de massa unidimensional para duas massas:
onde
são as massas e
suas posições horizontais (medidas em relação a um mesmo referencial). Aqui a ideia é: o CM fica “entre” as massas, ponderado pelas massas.
Passo 3
Escolha de referencial e posições iniciais (passo importante para não se perder):
- Coloco a origem
no centro da tábua na configuração inicial (antes de Woody começar a andar). - Assim, inicialmente o centro da tábua tem posição
. - Woody está em uma extremidade; como a tábua tem comprimento
, a extremidade esquerda está a do centro. Então a posição inicial de Woody é . - Notação: subíndices
para Woody, para tábua, para inicial e para final.
Passo 4
Calcular a posição inicial do centro de massa do sistema. Usando a fórmula do CM com
e
:
Agora simplifico passo a passo. O denominador é
O numerador é
. Portanto
Cancelei
e dividi as frações:
Passo 5
Descrito o estado final em termos de uma incógnita: quando Woody anda até a extremidade oposta, a tábua (por reação) desloca-se também. Seja
o deslocamento do centro da tábua em relação à posição inicial (positivo para a direita, negativo para a esquerda). Assim:
- posição final do centro da tábua:
. - Woody, que fica agora na extremidade direita da tábua, está a
do centro da tábua (medido em coordenadas do próprio móvel). Então a posição final de Woody no referencial do chão é
Lembrando: Woody andou relativamente à tábua uma distância
da extremidade esquerda até a direita, mas o conjunto todo pode ter se deslocado.
Passo 6
Calcular a posição final do centro de massa em função de
. Usando a fórmula do CM:
Somando os termos do numerador:
Como
, dividir pelo denominador
dá:
Cancelei
e simplifiquei a fração:
Passo 7
Agora aplico a conservação do centro de massa na direção horizontal:
. Substituindo os resultados dos Passos 4 e 6:
Isolando
:
Interpretação: o centro da tábua deslocou-se uma distância
para a esquerda (sinal negativo).
Passo 8
Finalmente, a distância que Woody percorre em relação à superfície (o chão) é o deslocamento da sua posição entre final e inicial:
Substituo
e
e o valor de
:
Calculo passo a passo: primeiro
. Então
Portanto, Woody percorre uma distância
em relação ao chão.