A polícia em alguns estados americanos usa aviões para controlar os limites de velocidade nas auto-estradas. Suponha que um dos aviões tenha a velocidade de
no ar parado. Ele está voando diretamente para o norte, de modo que esteja todo o tempo sobre uma rodovia norte-sul. Um observador no chão diz ao piloto pelo rádio que um vento de
está soprando mas não dá a direção do vento. O piloto observa que apesar do vento o avião pode viajar 220 km em 1 h ao longo da auto-estrada. Em outras palavras, a velocidade com relação ao chão é a mesma que seria se não houvesse vento. (a) Qual é a direção do vento? (b) Qual o sentido do avião, isto é, qual o ângulo entre seu eixo e a estrada?
Passo 1
Beleza, então o exercício diz que um avião tem velocidade no ar (aerovelocidade) de 220 km/h, está voando sobre uma estrada norte-sul e, apesar de um vento de 110 km/h, consegue ainda fazer 220 km no solo em 1 h (ou seja, a velocidade em relação ao chão é 220 km/h para o norte). A gente quer:
- o(a) direção do vento;
- o ângulo entre o eixo do avião e a estrada (o “heading” que ele usa para compensar o vento).
Conteúdo: vetores e soma de velocidades (velocidade resultante = aerovelocidade + velocidade do vento). Vamos precisar decompor vetores em componentes, usar seno, cosseno, teorema de Pitágoras e funções inversas (arccos, arctan).
Passo 2
Primeiro, define um sistema de eixos bem simples:
- eixo y aponta para o norte;
- eixo x aponta para o leste.
A velocidade do ventotem módulo 110 km/h e direção desconhecida: vamos chamar de o ângulo que ela faz a partir do norte, girando para o leste.
Logo, em componentes:
A aerovelocidade do avião
tem módulo 220 km/h e direção também desconhecida — mas sabemos que a resultante (velocidade sobre o solo)
é
km/h (pois está indo direto ao norte a 220 km/h).
Como sempre vale
a gente tem
Passo 3
Da igualdade de componentes vem:
- Em x:
- Em y:
Mas a aerovelocidade tem módulo 220, ou seja
Substituindo:
Passo 4
Expande e simplifica:
Como
e
, fica
Logo
Isso quer dizer que o vento sopra em direção a 75,5° a leste do norte (ou seja, levemente nordeste).
Passo 5
Agora vamos descobrir o “heading” do avião, isto é, o ângulo β que ele faz em relação ao norte (para oeste, já que ele compensa o vento leste).
A aerovelocidade em componentes ficou:
A aerovelocidade em componentes ficou:
O sinal negativo em
mostra que ele vai um pouco para o oeste. O ângulo β em relação ao norte é dado por
Ou seja, o avião aponta 29° a oeste do norte para compensar o vento leste.
Resposta
(a) O vento está soprando em direção a 75,5° a leste do norte.
(b) O avião deve apontar seu eixo 29° a oeste do norte (em relação à estrada norte-sul).
(b) O avião deve apontar seu eixo 29° a oeste do norte (em relação à estrada norte-sul).