A polícia em alguns estados americanos usa aviões para controlar os limites de velocidade nas auto-estradas. Suponha que um dos aviões tenha a velocidade de 220 km / h no ar parado. Ele está voando diretamente para o norte, de modo que esteja todo o tempo sobre uma rodovia norte-sul. Um observador no chão diz ao piloto pelo rádio que um vento de 110 km / h está soprando mas não dá a direção do vento. O piloto observa que apesar do vento o avião pode viajar 220 km em 1 h ao longo da auto-estrada. Em outras palavras, a velocidade com relação ao chão é a mesma que seria se não houvesse vento. (a) Qual é a direção do vento? (b) Qual o sentido do avião, isto é, qual o ângulo entre seu eixo e a estrada?

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que um avião tem velocidade no ar (aerovelocidade) de 220 km/h, está voando sobre uma estrada norte-sul e, apesar de um vento de 110 km/h, consegue ainda fazer 220 km no solo em 1 h (ou seja, a velocidade em relação ao chão é 220 km/h para o norte). A gente quer:
  • o(a) direção do vento;
  • o ângulo entre o eixo do avião e a estrada (o “heading” que ele usa para compensar o vento).
    Conteúdo: vetores e soma de velocidades (velocidade resultante = aerovelocidade + velocidade do vento). Vamos precisar decompor vetores em componentes, usar seno, cosseno, teorema de Pitágoras e funções inversas (arccos, arctan).

Passo 2

Primeiro, define um sistema de eixos bem simples:
  • eixo y aponta para o norte;
  • eixo x aponta para o leste.
    A velocidade do vento Vw,x = 110sintheta, Vw,y = 110costheta tem módulo 110 km/h e direção desconhecida: vamos chamar de vec Vg = vec Vp + vec Vw, o ângulo que ela faz a partir do norte, girando para o leste.
    Logo, em componentes:
(0,220) = (Vp,x+110sintheta,;Vp,y+110costheta)
A aerovelocidade do avião tem módulo 220 km/h e direção também desconhecida — mas sabemos que a resultante (velocidade sobre o solo) é
km/h (pois está indo direto ao norte a 220 km/h).
Como sempre vale
a gente tem

Passo 3

Da igualdade de componentes vem:
  1. Em x:
0 = Vp,x + 110sintheta Longrightarrow Vp,x = -110sintheta
  1. Em y:
220 = Vp,y + 110costheta Longrightarrow Vp,y = 220 - 110costheta
Mas a aerovelocidade tem módulo 220, ou seja
|vec Vp|^2 = Vp,x^2 + Vp,y^2 = 220^2
Substituindo:
(-110sintheta)^2 + (220 - 110costheta)^2 = 220^2

Passo 4

Expande e simplifica:
12100sin^2theta + l(220^2 - 2cdot220cdot110costheta + 12100cos^2thetar) = 48400
Como 12100 + 48400 - 48400costheta = 48400 ;Longrightarrow; 60500 - 48400costheta = 48400 ;Longrightarrow; costheta = 1210048400 = 0.25 e theta = arccos(0.25)approx 75,5^circ , fica
Logo
Isso quer dizer que o vento sopra em direção a 75,5° a leste do norte (ou seja, levemente nordeste).

Passo 5

Agora vamos descobrir o “heading” do avião, isto é, o ângulo β que ele faz em relação ao norte (para oeste, já que ele compensa o vento leste).
A aerovelocidade em componentes ficou:
Vp,x = -110sin75,5^circapprox -106,5, Vp,y = 220 - 110cos75,5^circ = 220 - 27,5 = 192,5
O sinal negativo em beta = arctan!l(|Vp,x|Vp,yr) = arctan!l(106,5192,5r)approx 29^circ mostra que ele vai um pouco para o oeste. O ângulo β em relação ao norte é dado por
Ou seja, o avião aponta 29° a oeste do norte para compensar o vento leste.

Resposta

(a) O vento está soprando em direção a 75,5° a leste do norte.
(b) O avião deve apontar seu eixo 29° a oeste do norte (em relação à estrada norte-sul).

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