É comum os dentistas utilizarem um espelho esférico para auxiliá-los a ver os dentes. Suponha que o dentista deseja utilizar esse espelho a uma distância típica de 5 cm do dente. Para se atingir o objetivo de se ter uma imagem aumentada, podemos afirmar que:
I. O espelho deve ser côncavo;
II. A distância focal deve ser menor que 5 cm ;
III. A imagem será invertida.
a) Apenas I é correta.
b) Apenas II é correta.
c) Apenas III é correta.
d) Apenas I e III são corretas.
e) Todas as afirmações são falsas.

Passo 1

O enunciado diz que o dentista vai usar um espelho esférico a uma distância típica de \,5\\ \text{cm}\, do dente e pede para avaliar três afirmações sobre como obter uma imagem aumentada:
  • I. O espelho deve ser côncavo.
  • II. A distância focal deve ser menor que \,5\\ \text{cm}\,.
  • III. A imagem será invertida.
Informações relevantes dadas:
  • Distância do objeto ao espelho (distância objeto) é \,p=5\\ \text{cm}\,.
  • Queremos que a imagem seja aumentada (ou seja, módulo da ampliação maior que 1).
  • Não há indicação adicional sobre orientação desejada (virtual/real, erguida/invertida), então devemos analisar todos os casos possíveis que produzem aumento.

Passo 2

Vamos usar as fórmulas básicas dos espelhos esféricos e explicar o que cada símbolo significa.
A equação do espelho esférico é
\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f},
onde:
  • \,p\, é a distância do objeto ao espelho (aqui \,p=5\\ \text{cm}\,);
  • \,q\, é a distância da imagem ao espelho (se \,q>0\, a imagem é real, se \,q<0\, é virtual, segundo convenção usual);
  • \,f\, é a distância focal do espelho (para espelho côncavo toma-se f>0, para convexo f<0).
A ampliação (razão entre tamanho da imagem e do objeto) é
m=-\frac{q}{p}.
Interpretação do sinal:
  • Se m>0 a imagem é erguida (não invertida).
  • Se m<0 a imagem é invertida.
    O módulo |m| indica quanto a imagem é maior ( |m|>1) ou menor ( |m|<1) que o objeto.

Passo 3

Breve resumo do comportamento dos tipos de espelho (sem usar jargões complicados):
  • Espelho convexo: sempre forma imagem virtual, direita (erguida) e reduzida ( |m|<1). Logo, convexos não servem para aumentar a imagem do dente.
  • Espelho plano: imagem virtual, direita e de mesmo tamanho ( |m|=1). Não aumenta.
  • Espelho côncavo: pode formar imagens reais (invertem) ou virtuais (erguidas), e pode produzir aumento em várias situações. Então, para ter aumento é necessário usar espelho côncavo (não há como obter aumento com convexo ou plano). Assim, a afirmação I é plausivelmente verdadeira — vamos confirmar com cálculos.

Passo 4

Vamos escrever q em função de p e f a partir da equação do espelho:
\frac{1}{q}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}\quad\Rightarrow\quad q=\frac{fp}{p-f}.
Observações sobre o sinal de q:
  • Se p>f (objeto além do foco) então p-f>0 e q>0: imagem real.
  • Se p<f (objeto entre foco e espelho) então p-f<0 e q<0: imagem virtual.

Passo 5

Agora a ampliação em função de f e p. Substituindo q em m obtemos:
m=-\frac{q}{p}=-\frac{f}{p-f}.
O módulo da ampliação é
|m|=\frac{f}{|p-f|}.
Isto é uma fórmula útil: para sabermos se há aumento precisamos que |m|>1, ou seja
\frac{f}{|p-f|}>1.

Passo 6

Analise dos dois casos possíveis (relacionando f com p) para ver quando temos |m|>1. Lembre que aqui p=5\\ \text{cm}.
Caso A: p<f (isto é, f>5\\ \text{cm}).
  • Então |p-f|=f-p e
|m|=\frac{f}{f-p}.
Como f>f-p (porque p>0), segue que |m|>1 automaticamente sempre que f>p. Conclusão: se o foco for maior que \,5\\ \text{cm}\, (espelho côncavo com f>5\\ \text{cm}) o objeto está entre o foco e o espelho e a imagem é virtual, erguida e aumentada. (Esse é o modo que o dentista costuma querer: imagem maior e erguida, fácil de olhar.)
Caso B: p>f (isto é, f<5\\ \text{cm}).
  • Então |p-f|=p-f e
|m|=\frac{f}{p-f}.
Exigindo |m|>1 obtemos
\frac{f}{p-f}>1 \quad\Longrightarrow\quad f>p-f \quad\Longrightarrow\quad 2f>p \quad\Longrightarrow\quad f>\frac{p}{2}.
Com p=5\\ \text{cm} isso dá f>2{,}5\\ \text{cm}. Ou seja, se 2{,}5\\ \text{cm}<f<5\\ \text{cm} temos também aumento, porém neste caso o objeto está além do foco e a imagem formada é real e invertida (que pode ser aumentada se f>2{,}5\\ \text{cm}).
Resumo matemático para p=5\\ \text{cm}:
  • Aumento ocorre sempre que f>2{,}5\\ \text{cm}.
  • Se f>5\\ \text{cm} a imagem é virtual e erguida.
  • Se 2{,}5\\ \text{cm}<f<5\\ \text{cm} a imagem é real e invertida.
  • Se f\le 2{,}5\\ \text{cm} não se obtém aumento ( |m|\le1).

Passo 7

Agora avaliamos cada afirmação:
I. “O espelho deve ser côncavo.” — Verdadeiro. Explicação: espelho convexo sempre reduz, espelho plano não aumenta; só o côncavo tem a flexibilidade (dependendo de f) de produzir imagem aumentada. Portanto I é correta.
II. “A distância focal deve ser menor que \,5\\ \text{cm}\,.” — Falso como obrigação. Explicação: para obter aumento pode acontecer com f<5\\ \text{cm} (caso 2{,}5<f<5 dá imagem real invertida aumentada), mas também pode acontecer com f>5\\ \text{cm} (imagem virtual, erguida e aumentada). Ou seja, não é necessário que f<5\\ \text{cm}; portanto II não é uma afirmação que sempre seja verdadeira.
III. “A imagem será invertida.” — Também não necessariamente verdadeira. Explicação: se \,2{,}5\\ \text{cm}<f<5\\ \text{cm}\, a imagem é invertida (real e aumentada), mas se f>5\\ \text{cm} a imagem é virtual, erguida e aumentada. Como há possibilidade de a imagem ser erguida, não se pode afirmar que a imagem será obrigatoriamente invertida. Logo III é falsa como afirmação universal.

Passo 8

Comentário prático e incentivo: para o uso odontológico costuma-se preferir a situação virtual e erguida (imagem aumentada e sem inversão), ou seja f>5\\ \text{cm} com espelho côncavo — daí o dentista vê a imagem ampliada e na orientação correta. Mas também é possível obter aumento com f menor do que \,5\\ \text{cm} (caso real e invertido), então não se pode afirmar as opções II e III como verdades absolutas.

Resposta

(a)

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