É comum os dentistas utilizarem um espelho esférico para auxiliá-los a ver os dentes. Suponha que o dentista deseja utilizar esse espelho a uma distância típica de 5 cm do dente. Para se atingir o objetivo de se ter uma imagem aumentada, podemos afirmar que:
I. O espelho deve ser côncavo;
II. A distância focal deve ser menor que 5 cm ;
III. A imagem será invertida.
a) Apenas I é correta.
b) Apenas II é correta.
c) Apenas III é correta.
d) Apenas I e III são corretas.
e) Todas as afirmações são falsas.
I. O espelho deve ser côncavo;
II. A distância focal deve ser menor que 5 cm ;
III. A imagem será invertida.
a) Apenas I é correta.
b) Apenas II é correta.
c) Apenas III é correta.
d) Apenas I e III são corretas.
e) Todas as afirmações são falsas.
Passo 1
O enunciado diz que o dentista vai usar um espelho esférico a uma distância típica de
do dente e pede para avaliar três afirmações sobre como obter uma imagem aumentada:
- I. O espelho deve ser côncavo.
- II. A distância focal deve ser menor que
. - III. A imagem será invertida.
Informações relevantes dadas:
- Distância do objeto ao espelho (distância objeto) é
. - Queremos que a imagem seja aumentada (ou seja, módulo da ampliação maior que 1).
- Não há indicação adicional sobre orientação desejada (virtual/real, erguida/invertida), então devemos analisar todos os casos possíveis que produzem aumento.
Passo 2
Vamos usar as fórmulas básicas dos espelhos esféricos e explicar o que cada símbolo significa.
A equação do espelho esférico é
onde:
-
é a distância do objeto ao espelho (aqui ); -
é a distância da imagem ao espelho (se a imagem é real, se é virtual, segundo convenção usual); -
é a distância focal do espelho (para espelho côncavo toma-se , para convexo ).
A ampliação (razão entre tamanho da imagem e do objeto) é
Interpretação do sinal:
- Se
a imagem é erguida (não invertida). - Se
a imagem é invertida.
O móduloindica quanto a imagem é maior ( ) ou menor ( ) que o objeto.
Passo 3
Breve resumo do comportamento dos tipos de espelho (sem usar jargões complicados):
- Espelho convexo: sempre forma imagem virtual, direita (erguida) e reduzida (
). Logo, convexos não servem para aumentar a imagem do dente. - Espelho plano: imagem virtual, direita e de mesmo tamanho (
). Não aumenta. - Espelho côncavo: pode formar imagens reais (invertem) ou virtuais (erguidas), e pode produzir aumento em várias situações. Então, para ter aumento é necessário usar espelho côncavo (não há como obter aumento com convexo ou plano). Assim, a afirmação I é plausivelmente verdadeira — vamos confirmar com cálculos.
Passo 4
Vamos escrever
em função de
e
a partir da equação do espelho:
Observações sobre o sinal de
:
- Se
(objeto além do foco) então e : imagem real. - Se
(objeto entre foco e espelho) então e : imagem virtual.
Passo 5
Agora a ampliação em função de
e
. Substituindo
em
obtemos:
O módulo da ampliação é
Isto é uma fórmula útil: para sabermos se há aumento precisamos que
, ou seja
Passo 6
Analise dos dois casos possíveis (relacionando
com
) para ver quando temos
. Lembre que aqui
.
Caso A:
(isto é,
).
- Então
e
Como
(porque
), segue que
automaticamente sempre que
. Conclusão: se o foco for maior que
(espelho côncavo com
) o objeto está entre o foco e o espelho e a imagem é virtual, erguida e aumentada. (Esse é o modo que o dentista costuma querer: imagem maior e erguida, fácil de olhar.)
Caso B:
(isto é,
).
- Então
e
Exigindo
obtemos
Com
isso dá
. Ou seja, se
temos também aumento, porém neste caso o objeto está além do foco e a imagem formada é real e invertida (que pode ser aumentada se
).
Resumo matemático para
:
- Aumento ocorre sempre que
. - Se
a imagem é virtual e erguida. - Se
a imagem é real e invertida. - Se
não se obtém aumento ( ).
Passo 7
Agora avaliamos cada afirmação:
I. “O espelho deve ser côncavo.” — Verdadeiro. Explicação: espelho convexo sempre reduz, espelho plano não aumenta; só o côncavo tem a flexibilidade (dependendo de
) de produzir imagem aumentada. Portanto I é correta.
II. “A distância focal deve ser menor que
.” — Falso como obrigação. Explicação: para obter aumento pode acontecer com
(caso
dá imagem real invertida aumentada), mas também pode acontecer com
(imagem virtual, erguida e aumentada). Ou seja, não é necessário que
; portanto II não é uma afirmação que sempre seja verdadeira.
III. “A imagem será invertida.” — Também não necessariamente verdadeira. Explicação: se
a imagem é invertida (real e aumentada), mas se
a imagem é virtual, erguida e aumentada. Como há possibilidade de a imagem ser erguida, não se pode afirmar que a imagem será obrigatoriamente invertida. Logo III é falsa como afirmação universal.
Passo 8
Comentário prático e incentivo: para o uso odontológico costuma-se preferir a situação virtual e erguida (imagem aumentada e sem inversão), ou seja
com espelho côncavo — daí o dentista vê a imagem ampliada e na orientação correta. Mas também é possível obter aumento com
menor do que
(caso real e invertido), então não se pode afirmar as opções II e III como verdades absolutas.
Resposta
(a)