Probability and Statistics for Computer Scientists Um emocionante jogo de computador é lançado. Sessenta por cento dos jogadores completam todos os níveis. Trinta por cento deles comprarão uma versão avançada do jogo. Entre 15 usuários, qual é o número esperado de pessoas que comprarão a versão avançada? Qual é a probabilidade de que pelo menos duas pessoas o comprem?
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados do enunciado:
- A proporção de jogadores que completam todos os níveis é
. Ou seja, a probabilidade de um jogador completar os níveis é . - Entre os que completam,
comprarão a versão avançada. Ou seja, dado que um jogador completou, a probabilidade de ele comprar é . - Estamos considerando
usuários (amostra de tamanho ).
- A proporção de jogadores que completam todos os níveis é
-
Perguntas pedidas:
- Qual é o número esperado de pessoas (entre esses
) que comprarão a versão avançada? - Qual é a probabilidade de que pelo menos duas pessoas, dentre os
, comprem a versão avançada?
- Qual é o número esperado de pessoas (entre esses
Passo 2
Modelagem do problema (por que dá para usar modelo binomial).
Cada usuário passa por duas etapas independentes (do ponto de vista do mesmo usuário): (i) completar os níveis com probabilidade
e (ii) dado que completou, comprar com probabilidade
. Pela regra do produto de probabilidades condicionais, a probabilidade de um usuário comprar a versão avançada é
Assumimos que os
usuários são independentes entre si (cada um tem a mesma probabilidade
e o comportamento de um não afeta o outro). Nessas condições, o número
de compradores entre os
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
:
Passo 3
Expectativa da binomial — fórmula e interpretação.
Para uma variável aleatória binomial
vale a fórmula da esperança:
Intuição: em média, de
tentativas cada uma com probabilidade
de “sucesso”, espera-se
vezes
sucessos.
Passo 4
Cálculo do número esperado usando a fórmula.
Aplicando
com
e
:
Portanto, em média espera-se
compradores entre os
usuários.
Passo 5
Probabilidade pedida: “pelo menos duas pessoas” significa
. Estratégia conveniente: usar o complementar
Isso evita somar muitas probabilidades.
Passo 6
Fórmula da probabilidade da binomial (pmf) e aplicação para
e
.
A função massa de probabilidade binomial é
Para
:
Para
:
Passo 7
Cálculo numérico de
com
(passo a passo aproximado).
Temos
.
Vamos calcular algumas potências intermediárias para facilitar:
Agora combine para obter
.
Multiplicando os valores aproximados:
Multiplicando os valores aproximados:
Assim
Passo 8
Cálculo numérico de
.
Usamos a expressão
.
Note que . Com os valores que já temos:
Note que
Então
Passo 9
Cálculo final de
usando o complementar.
Arredondando a quatro casas decimais, isso fica aproximadamente
, ou seja cerca de
.