Probability and Statistics for Computer Scientists Um emocionante jogo de computador é lançado. Sessenta por cento dos jogadores completam todos os níveis. Trinta por cento deles comprarão uma versão avançada do jogo. Entre 15 usuários, qual é o número esperado de pessoas que comprarão a versão avançada? Qual é a probabilidade de que pelo menos duas pessoas o comprem?

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • A proporção de jogadores que completam todos os níveis é 60\%. Ou seja, a probabilidade de um jogador completar os níveis é \,0,6.
    • Entre os que completam, 30\% comprarão a versão avançada. Ou seja, dado que um jogador completou, a probabilidade de ele comprar é \,0,3.
    • Estamos considerando 15 usuários (amostra de tamanho n=15).
  • Perguntas pedidas:
    1. Qual é o número esperado de pessoas (entre esses 15) que comprarão a versão avançada?
    2. Qual é a probabilidade de que pelo menos duas pessoas, dentre os 15, comprem a versão avançada?

Passo 2

Modelagem do problema (por que dá para usar modelo binomial).
Cada usuário passa por duas etapas independentes (do ponto de vista do mesmo usuário): (i) completar os níveis com probabilidade \,0,6 e (ii) dado que completou, comprar com probabilidade \,0,3. Pela regra do produto de probabilidades condicionais, a probabilidade de um usuário comprar a versão avançada é
p = 0,6 \cdot 0,3 = 0,18.
Assumimos que os 15 usuários são independentes entre si (cada um tem a mesma probabilidade p e o comportamento de um não afeta o outro). Nessas condições, o número X de compradores entre os 15 segue uma distribuição binomial com parâmetros n=15 e p=0,18:
X \sim \mathrm{Bin}(n=15,p=0,18).

Passo 3

Expectativa da binomial — fórmula e interpretação.
Para uma variável aleatória binomial X\sim\mathrm{Bin}(n,p) vale a fórmula da esperança:
\mathbb{E}[X]=n\cdot p.
Intuição: em média, de n tentativas cada uma com probabilidade p de “sucesso”, espera-se n vezes p sucessos.

Passo 4

Cálculo do número esperado usando a fórmula.
Aplicando \mathbb{E}[X]=n\cdot p com n=15 e p=0,18:
\mathbb{E}[X]=15\cdot 0,18 = 2,7.
Portanto, em média espera-se 2{,}7 compradores entre os 15 usuários.

Passo 5

Probabilidade pedida: “pelo menos duas pessoas” significa P(X\ge 2). Estratégia conveniente: usar o complementar
P(X\ge 2)=1-P(X\le 1)=1-\bigl(P(X=0)+P(X=1)\bigr).
Isso evita somar muitas probabilidades.

Passo 6

Fórmula da probabilidade da binomial (pmf) e aplicação para k=0 e k=1.
A função massa de probabilidade binomial é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}.
Para k=0:
P(X=0)=\binom{15}{0} p^{0}(1-p)^{15}=(1-p)^{15}.
Para k=1:
P(X=1)=\binom{15}{1} p^{1}(1-p)^{14}=15\cdot p\cdot (1-p)^{14}.

Passo 7

Cálculo numérico de (1-p)^{15} com p=0,18 (passo a passo aproximado).
Temos 1-p=0,82.
Vamos calcular algumas potências intermediárias para facilitar:
0,82^{2}=0,6724,
0,82^{4}=(0,82^{2})^{2}=0,6724^{2}\approx 0,45212976,
0,82^{8}\approx 0,45212976^{2}\approx 0,204422.
Agora combine para obter 0,82^{15}=0,82^{8}\cdot0,82^{4}\cdot0,82^{2}\cdot0,82.
Multiplicando os valores aproximados:
0,82^{15}\approx 0,204422\cdot0,45212976\cdot0,6724\cdot0,82 \approx 0,050968.
Assim
P(X=0)=(1-p)^{15}\approx 0,050968.

Passo 8

Cálculo numérico de P(X=1).
Usamos a expressão P(X=1)=15\cdot p\cdot(1-p)^{14}.
Note que (1-p)^{14}=(1-p)^{15}/(1-p). Com os valores que já temos:
(1-p)^{14}\approx \frac{0,050968}{0,82}\approx 0,062137.
Então
P(X=1)=15\cdot 0,18\cdot 0,062137=2,7\cdot 0,062137\approx 0,167769.

Passo 9

Cálculo final de P(X\ge 2) usando o complementar.
P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)\approx 1-0,050968-0,167769\approx 0,781263.
Arredondando a quatro casas decimais, isso fica aproximadamente 0,7813, ou seja cerca de 78{,}13\%.

Resposta

2,7
0,7813

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