Depois t horas de trabalho, um operário é capaz de produzir de acordo dada pela função P(t)=100 t e^-0,5 t unidades por hora. Quantas unidades um operário que chega ao trabalho ás 08 h produz entre as 10 h e ao meio dia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um operário que produz unidades conforme a função $ P(t) = 100 t e^{-0,5 t} $, onde $ t $ é o tempo em horas de trabalho. A gente precisa descobrir quantas unidades esse operário produz entre as 10h e ao meio-dia, sabendo que ele começa a trabalhar às 08h. Vamos usar cálculo, especificamente a integração, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o intervalo de tempo. Ele começa às 08h e queremos saber a produção entre 10h e 12h. Então, o tempo total de trabalho é contado a partir das 08h. Assim, às 10h, já se passaram 2 horas de trabalho ($ t = 2 t = 2 t = 4 $).

Passo 3

Agora, para descobrir quantas unidades são produzidas nesse período, precisamos calcular a integral da função de produção $ P(t) $ de $ t = 2 $ até $ t = 4 $. A integral basicamente acumula todas as unidades produzidas ao longo desse intervalo.

Passo 4

A função de produção é $ P(t) = 100 t e^{-0,5 t} $. Vamos integrar essa função:
P(t) = 100 t e^-0,5 t

Passo 5

Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos $ u = t $ e $ dv = e^{-0,5 t} dt $. Calculando $ du = dt $ e $ v = -2 e^{-0,5 t} $ (pois a integral de $ e^{-0,5 t} $ é $ -2 e^{-0,5 t} $).

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 7

Multiplicando pela constante 100:
integral2^4 100 t e^-0,5 t dt = 100 [ -2 t e^-0,5 t - 4 e^-0,5 t ]2^4

Passo 8

Agora, vamos calcular isso nos limites de 2 a 4:
Para $ t = 4 $:
t = 4
Para $ t = 2 $:
-2(4) e^-0,5 times 4 - 4 e^-0,5 times 4 = -8 e^-2 - 4 e^-2 = -12 e^-2

Passo 9

Subtraindo os valores:
100 [ (-12 e^-2) - (-8 e^-1) ] = 100 ( -12 e^-2 + 8 e^-1 )

Passo 10

Calculando os valores numéricos (usando $ e^{-1} \approx 0,3679 $ e $ e^{-2} \approx 0,1353 $):
e^-1 approx 0,3679
Multiplicando por 100:
e^-2 approx 0,1353

Resposta

O operário produz aproximadamente 132 unidades entre as 10h e ao meio-dia.

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