Depois
horas de trabalho, um operário é capaz de produzir de acordo dada pela função
unidades por hora. Quantas unidades um operário que chega ao trabalho ás 08 h produz entre as 10 h e ao meio dia?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um operário que produz unidades conforme a função $ P(t) = 100 t e^{-0,5 t} $, onde $ t $ é o tempo em horas de trabalho. A gente precisa descobrir quantas unidades esse operário produz entre as 10h e ao meio-dia, sabendo que ele começa a trabalhar às 08h. Vamos usar cálculo, especificamente a integração, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o intervalo de tempo. Ele começa às 08h e queremos saber a produção entre 10h e 12h. Então, o tempo total de trabalho é contado a partir das 08h. Assim, às 10h, já se passaram 2 horas de trabalho ($ t = 2
t = 4 $).
Passo 3
Agora, para descobrir quantas unidades são produzidas nesse período, precisamos calcular a integral da função de produção $ P(t) $ de $ t = 2 $ até $ t = 4 $. A integral basicamente acumula todas as unidades produzidas ao longo desse intervalo.
Passo 4
A função de produção é $ P(t) = 100 t e^{-0,5 t} $. Vamos integrar essa função:
Passo 5
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos $ u = t $ e $ dv = e^{-0,5 t} dt $. Calculando $ du = dt $ e $ v = -2 e^{-0,5 t} $ (pois a integral de $ e^{-0,5 t} $ é $ -2 e^{-0,5 t} $).
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Passo 7
Multiplicando pela constante 100:
Passo 8
Agora, vamos calcular isso nos limites de 2 a 4:
Para $ t = 4 $:
Para $ t = 2 $:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Passo 10
Calculando os valores numéricos (usando $ e^{-1} \approx 0,3679 $ e $ e^{-2} \approx 0,1353 $):
Multiplicando por 100:
Resposta
O operário produz aproximadamente 132 unidades entre as 10h e ao meio-dia.