Uma pizzaria oferece 10 sabores diferentes de pizza. Um cliente deseja montar uma pizza gigante com 4 sabores diferentes. De quantas formas ele pode escolher os sabores?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta claramente o seguinte.
  • Informações fornecidas:
    • Existem 10 sabores diferentes de pizza disponíveis.
    • O cliente quer montar uma pizza gigante com 4 sabores diferentes.
    • Não se repete sabor (cada um dos 4 é distinto).
    • A ordem dos sabores na pizza não importa (escolher sabores A, B, C, D é a mesma coisa que escolher B, A, D, C).
  • Pergunta:
    • De quantas formas o cliente pode escolher os 4 sabores entre os 10 disponíveis?

Passo 2

Entendendo a diferença entre escolher com ordem e sem ordem (por que isso importa).
  • Se a ordem importasse (ou seja, se cada sequência diferente contasse separadamente), para escolher 4 sabores em sequência de 10 sem repetir, o número de possibilidades seria
    10\cdot 9\cdot 8\cdot 7.
    Isso conta sequências ordenadas (permutações) — por exemplo, \{A,B,C,D\} seria contado várias vezes, uma para cada ordem.
  • Como no problema a ordem NÃO importa, cada conjunto de 4 sabores é contado 4! vezes na conta ordenada acima (porque os 4 sabores podem ser permutados entre si de 4! formas e cada permutação apareceria na conta ordenada). Então devemos dividir o total ordenado por 4! para obter apenas os conjuntos distintos.
  • Isso leva à fórmula geral para escolher k elementos de um conjunto de n quando a ordem não importa e não há repetição:
    \binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
    onde:
    • n! (lê-se “ n fatorial”) é n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1,
    • k! é o fatorial de k,
    • \binom{n}{k} é a combinação de n elementos tomados k a k.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema com n=10 e k=4.
  • Usando a forma prática: \binom{10}{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.

Passo 4

Simplificando a expressão passo a passo (fazendo cancelamentos para não precisar multiplicar números grandes):
  • Começando por
    \frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1},
    podemos simplificar dividindo fatores em cima pelos fatores embaixo:
    • Dividir 8 por 4 2.
    • Dividir 9 por 3 3.
    • Dividir 10 por 2 5.
    • O 1 não altera nada.
  • Após esses cancelamentos ficamos com
    5\cdot 3\cdot 2\cdot 7.
  • Calculando:
    5\cdot 3 = 15,\qquad 15\cdot 2 = 30,\qquad 30\cdot 7 = 210.

Passo 5

Interpretação final e dica prática para prova.
  • Interpretação: existem 210 conjuntos distintos de 4 sabores que podem ser escolhidos entre os 10.
  • Dica para a prova: quando pedir “escolher” sem ordenar e sem repetir, use sempre \binom{n}{k}. Para calcular, prefira a forma com produto reduzido \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} e faça cancelamentos antes de multiplicar para evitar números grandes.

Resposta

210

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