Uma pizzaria oferece 10 sabores diferentes de pizza. Um cliente deseja montar uma pizza gigante com 4 sabores diferentes. De quantas formas ele pode escolher os sabores?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta claramente o seguinte.
-
Informações fornecidas:
- Existem
sabores diferentes de pizza disponíveis. - O cliente quer montar uma pizza gigante com
sabores diferentes. - Não se repete sabor (cada um dos
é distinto). - A ordem dos sabores na pizza não importa (escolher sabores A, B, C, D é a mesma coisa que escolher B, A, D, C).
- Existem
-
Pergunta:
- De quantas formas o cliente pode escolher os
sabores entre os disponíveis?
- De quantas formas o cliente pode escolher os
Passo 2
Entendendo a diferença entre escolher com ordem e sem ordem (por que isso importa).
-
Se a ordem importasse (ou seja, se cada sequência diferente contasse separadamente), para escolher
sabores em sequência de sem repetir, o número de possibilidades seria Isso conta sequências ordenadas (permutações) — por exemplo,seria contado várias vezes, uma para cada ordem. -
Como no problema a ordem NÃO importa, cada conjunto de
sabores é contado vezes na conta ordenada acima (porque os sabores podem ser permutados entre si de formas e cada permutação apareceria na conta ordenada). Então devemos dividir o total ordenado por para obter apenas os conjuntos distintos. -
Isso leva à fórmula geral para escolher
elementos de um conjunto de quando a ordem não importa e não há repetição: onde:-
(lê-se “ fatorial”) é , -
é o fatorial de , -
é a combinação de elementos tomados a .
-
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso problema com
e
.
- Usando a forma prática:
Passo 4
Simplificando a expressão passo a passo (fazendo cancelamentos para não precisar multiplicar números grandes):
-
Começando porpodemos simplificar dividindo fatores em cima pelos fatores embaixo:
- Dividir
por dá . - Dividir
por dá . - Dividir
por dá . - O
não altera nada.
- Dividir
-
Após esses cancelamentos ficamos com
-
Calculando:
Passo 5
Interpretação final e dica prática para prova.
- Interpretação: existem
conjuntos distintos de sabores que podem ser escolhidos entre os . - Dica para a prova: quando pedir “escolher” sem ordenar e sem repetir, use sempre
. Para calcular, prefira a forma com produto reduzido e faça cancelamentos antes de multiplicar para evitar números grandes.