Um hospital tem dois aparelhos
e
, que respectivamente produzem
e
dos exames. Em um dia de clima normal, a probabilidade que
produza um exame correto é 0.8 , e a probabilidade que
produza um exame correto é 0.9 . Quando o clima é úmido essas probabilidades caem; a probabilidade que
produza um exame correto então é 0.6 , e a mesma probabilidade para
é 0.8 . Suponha que o estado do
clima seja independente de qual máquina realiza um exame qualquer, e que a probabilidade de clima normal seja 0.8.
a) Qual a probabilidade que, ao selecionar aleatoriamente um exame produzido pelo hospital, tenhamos um exame correto?
b) Qual a probabilidade que um exame selecionado aleatoriamente tenha sido produzido pela máquina
e o dia seja normal, dado que esse exame está correto?
clima seja independente de qual máquina realiza um exame qualquer, e que a probabilidade de clima normal seja 0.8.
a) Qual a probabilidade que, ao selecionar aleatoriamente um exame produzido pelo hospital, tenhamos um exame correto?
b) Qual a probabilidade que um exame selecionado aleatoriamente tenha sido produzido pela máquina
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Informações fornecidas:
- A probabilidade de um exame ser produzido por
é . - A probabilidade de um exame ser produzido por
é . - A probabilidade de dia normal é
. Logo, dia úmido tem . - Probabilidades de exame correto dadas máquina e clima:
-
. -
. -
. -
.
-
- O enunciado afirma que o estado do clima é independente de qual máquina realiza o exame. Isso significa que
para .
Perguntas:
(a) Qual a probabilidade de que, ao selecionar aleatoriamente um exame produzido pelo hospital, o exame seja correto? (ou seja, )
(b) Qual a probabilidade de que o exame tenha sido produzido por e o dia seja normal, dado que o exame está correto? (ou seja,
)
(a) Qual a probabilidade de que, ao selecionar aleatoriamente um exame produzido pelo hospital, o exame seja correto? (ou seja,
(b) Qual a probabilidade de que o exame tenha sido produzido por
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma direta):
- Regra do produto (multiplicação): para eventos
, , . Se e são independentes, então . - Lei da probabilidade total (para juntar cenários mutuamente exclusivos): se
é uma partição do espaço, então No nosso caso vamos particionar pelos pares (máquina, clima). - Definição de probabilidade condicional (que é a base do item b): para eventos
e com ,
Aplicação ao problema:
- Para calcular
usamos a lei da probabilidade total somando sobre as combinações . - Para calcular
usamos a definição de probabilidade condicional com e .
Passo 3
Calcular as probabilidades conjuntas de “máquina, clima e exame correto” usando a independência entre máquina e clima e a probabilidade condicional de correto dada máquina e clima.
Usamos a regra:
onde
e
.
Calculemos cada termo:
- Para
em dia normal:
Fazendo a conta:
- Para
em dia úmido:
Conta:
- Para
em dia normal:
Conta:
- Para
em dia úmido:
Conta:
Passo 4
Agora aplicamos a lei da probabilidade total somando as quatro probabilidades conjuntas calculadas para obter
:
Somando passo a passo:
Portanto a probabilidade de um exame selecionado aleatoriamente ser correto é
.
Passo 5
Para responder (b) precisamos de
Do Passo 3 temos
. Do Passo 4 temos
. Então
Passo 6
Fazendo a divisão e apresentando em fração e em porcentagem:
Em porcentagem isso é aproximadamente
(arredondando a duas casas decimais).
Resposta
(a)
\
(b)
(b)