Um hospital tem dois aparelhos A_{1} e A_{2}, que respectivamente produzem 30 \% e 70 \% dos exames. Em um dia de clima normal, a probabilidade que A_{1} produza um exame correto é 0.8 , e a probabilidade que A_{2} produza um exame correto é 0.9 . Quando o clima é úmido essas probabilidades caem; a probabilidade que A_{1} produza um exame correto então é 0.6 , e a mesma probabilidade para A_{2} é 0.8 . Suponha que o estado do
clima seja independente de qual máquina realiza um exame qualquer, e que a probabilidade de clima normal seja 0.8.
a) Qual a probabilidade que, ao selecionar aleatoriamente um exame produzido pelo hospital, tenhamos um exame correto?
b) Qual a probabilidade que um exame selecionado aleatoriamente tenha sido produzido pela máquina A_{1} e o dia seja normal, dado que esse exame está correto?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Informações fornecidas:
  • A probabilidade de um exame ser produzido por A_{1} é P(A_{1})=0{,}3.
  • A probabilidade de um exame ser produzido por A_{2} é P(A_{2})=0{,}7.
  • A probabilidade de dia normal é P(N)=0{,}8. Logo, dia úmido tem P(U)=1-P(N)=0{,}2.
  • Probabilidades de exame correto dadas máquina e clima:
    • P(\text{correto}\mid A_{1},N)=0{,}8.
    • P(\text{correto}\mid A_{2},N)=0{,}9.
    • P(\text{correto}\mid A_{1},U)=0{,}6.
    • P(\text{correto}\mid A_{2},U)=0{,}8.
  • O enunciado afirma que o estado do clima é independente de qual máquina realiza o exame. Isso significa que P(A_i\\ \text{e}\\ C)=P(A_i)\,P\text{(C)} para C\in\{N,U\}.
Perguntas:
(a) Qual a probabilidade de que, ao selecionar aleatoriamente um exame produzido pelo hospital, o exame seja correto? (ou seja, P(\text{correto}))
(b) Qual a probabilidade de que o exame tenha sido produzido por A_{1} e o dia seja normal, dado que o exame está correto? (ou seja, P(A_{1}\\ \text{e}\\ N \mid \text{correto}))

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma direta):
  • Regra do produto (multiplicação): para eventos X, Y, P(X\\ \text{e}\\ Y)=P(X)\,P(Y\mid X). Se X e Y são independentes, então P(X\\ \text{e}\\ Y)=P(X)P(Y).
  • Lei da probabilidade total (para juntar cenários mutuamente exclusivos): se \{B_i\} é uma partição do espaço, então P(A)=\sum_{i} P(B_i)\,P(A\mid B_i).No nosso caso vamos particionar pelos pares (máquina, clima).
  • Definição de probabilidade condicional (que é a base do item b): para eventos E e F com P(F)>0, P(E\mid F)=\frac{P(E\\ \text{e}\\ F)}{P(F)}.
Aplicação ao problema:
  • Para calcular P(\text{correto}) usamos a lei da probabilidade total somando sobre as combinações (A_1,N), (A_1,U), (A_2,N), (A_2,U).
  • Para calcular P(A_{1}\\ \text{e}\\ N \mid \text{correto}) usamos a definição de probabilidade condicional com E=(A_{1}\\ \text{e}\\ N) e F=(\text{correto}).

Passo 3

Calcular as probabilidades conjuntas de “máquina, clima e exame correto” usando a independência entre máquina e clima e a probabilidade condicional de correto dada máquina e clima.
Usamos a regra:
P(A_i\\ \text{e}\\ C\\ \text{e}\\ \text{correto}) = P(A_i)\,P\text{(C)}\,P(\text{correto}\mid A_i,C),
onde i\in\{1,2\} e C\in\{N,U\}.
Calculemos cada termo:
  1. Para A_{1} em dia normal:
P(A_{1}\\ \text{e}\\ N\\ \text{e}\\ \text{correto}) = P(A_{1})\,P(N)\,P(\text{correto}\mid A_{1},N) = 0{,}3\cdot 0{,}8\cdot 0{,}8.
Fazendo a conta:
0{,}3\cdot 0{,}8 = 0{,}24,\qquad 0{,}24\cdot 0{,}8 = 0{,}192.
  1. Para A_{1} em dia úmido:
P(A_{1}\\ \text{e}\\ U\\ \text{e}\\ \text{correto}) = 0{,}3\cdot 0{,}2\cdot 0{,}6.
Conta:
0{,}3\cdot 0{,}2 = 0{,}06,\qquad 0{,}06\cdot 0{,}6 = 0{,}036.
  1. Para A_{2} em dia normal:
P(A_{2}\\ \text{e}\\ N\\ \text{e}\\ \text{correto}) = 0{,}7\cdot 0{,}8\cdot 0{,}9.
Conta:
0{,}7\cdot 0{,}8 = 0{,}56,\qquad 0{,}56\cdot 0{,}9 = 0{,}504.
  1. Para A_{2} em dia úmido:
P(A_{2}\\ \text{e}\\ U\\ \text{e}\\ \text{correto}) = 0{,}7\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8.
Conta:
0{,}7\cdot 0{,}2 = 0{,}14,\qquad 0{,}14\cdot 0{,}8 = 0{,}112.

Passo 4

Agora aplicamos a lei da probabilidade total somando as quatro probabilidades conjuntas calculadas para obter P(\text{correto}):
P(\text{correto}) = 0{,}192 + 0{,}036 + 0{,}504 + 0{,}112.
Somando passo a passo:
0{,}192 + 0{,}036 = 0{,}228,
0{,}228 + 0{,}504 = 0{,}732,
0{,}732 + 0{,}112 = 0{,}844.
Portanto a probabilidade de um exame selecionado aleatoriamente ser correto é P(\text{correto})=0{,}844.

Passo 5

Para responder (b) precisamos de
P(A_{1}\\ \text{e}\\ N \mid \text{correto}) = \frac{P(A_{1}\\ \text{e}\\ N\\ \text{e}\\ \text{correto})}{P(\text{correto})}.
Do Passo 3 temos P(A_{1}\\ \text{e}\\ N\\ \text{e}\\ \text{correto})=0{,}192. Do Passo 4 temos P(\text{correto})=0{,}844. Então
P(A_{1}\\ \text{e}\\ N \mid \text{correto}) = \frac{0{,}192}{0{,}844}.

Passo 6

Fazendo a divisão e apresentando em fração e em porcentagem:
\frac{0{,}192}{0{,}844}=\frac{48}{211}\approx 0{,}2275\ldots
Em porcentagem isso é aproximadamente 22{,}75\% (arredondando a duas casas decimais).

Resposta

(a) P(\text{correto})=0{,}844\
(b) P(A_{1}\\ \text{e}\\ N \mid \text{correto})=\dfrac{0{,}192}{0{,}844}=\dfrac{48}{211}\approx0{,}2275

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