Uma variável aleatória discreta tem distribuição de probabilidade dada por
\mathbb{P}(X=x)=\frac{c}{x}, \text { para } x=1,2,3,4,5
sendo c uma constante. \mathbb{P}(X=x) é nula para todos os outros valores de x. Pede-se:
a) O valor de c.
b) \mathbb{P}(X>1).

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta
\mathbb{P}(X=x)=\frac{c}{x}\quad\text{para }x=1,2,3,4,5,
sendo \mathbb{P}(X=x)=0 para todos os outros valores de x. A constante c é desconhecida. As perguntas são:
  • (a) Determinar o valor de c.
  • (b) Calcular \mathbb{P}(X>1).

Passo 2

Princípio básico: para qualquer variável aleatória discreta, a soma das probabilidades sobre todos os valores possíveis deve valer 1. Aqui os valores possíveis são 1,2,3,4,5. Portanto vale a equação de normalização
\sum_{x=1}^{5}\mathbb{P}(X=x)=1.
Substituindo \mathbb{P}(X=x)=\dfrac{c}{x} obtemos a equação
\sum_{x=1}^{5}\frac{c}{x}=1.

Passo 3

Fatorando c para fora da soma temos
c\sum_{x=1}^{5}\frac{1}{x}=1.
Calcular a soma \displaystyle\sum_{x=1}^{5}\frac{1}{x} (o chamado H_5, a quinta harmônica). Fazendo com denominador comum 60:
1=\frac{60}{60},\quad \frac{1}{2}=\frac{30}{60},\quad \frac{1}{3}=\frac{20}{60},\quad \frac{1}{4}=\frac{15}{60},\quad \frac{1}{5}=\frac{12}{60}.
Somando os numeradores:
60+30+20+15+12=137,
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\sum_{x=1}^{5}\frac{1}{x}=\frac{137}{60}.
Substituindo na equação de normalização:
c\cdot\frac{137}{60}=1 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{60}{137}.

Passo 4

Agora calcular \mathbb{P}(X>1). Método direto: somar as probabilidades para x=2,3,4,5:
\mathbb{P}(X>1)=\sum_{x=2}^{5}\frac{c}{x}=c\sum_{x=2}^{5}\frac{1}{x}.
Note que \sum_{x=2}^{5}\dfrac{1}{x}=\sum_{x=1}^{5}\dfrac{1}{x}-1. Já sabemos \sum_{x=1}^{5}\dfrac{1}{x}=\dfrac{137}{60}, então
\sum_{x=2}^{5}\frac{1}{x}=\frac{137}{60}-1=\frac{77}{60}.
Multiplicando por c=\dfrac{60}{137} resulta
\mathbb{P}(X>1)=\frac{60}{137}\cdot\frac{77}{60}=\frac{77}{137}.

Passo 5

Verificação rápida por complemento (checar consistência): \mathbb{P}(X>1)=1-\mathbb{P}(X\le1)=1-\mathbb{P}(X=1). Como \mathbb{P}(X=1)=\dfrac{c}{1}=\dfrac{60}{137}, então
\mathbb{P}(X>1)=1-\frac{60}{137}=\frac{77}{137},
que coincide com o resultado obtido no passo anterior. Tudo consistente.

Resposta

c=\dfrac{60}{137}
\mathbb{P}(X>1)=\dfrac{77}{137}

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