Uma variável aleatória discreta tem distribuição de probabilidade dada por
sendo
uma constante.
é nula para todos os outros valores de
. Pede-se:
a) O valor de
.
b)
.
a) O valor de
b)
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta
sendo
para todos os outros valores de
. A constante
é desconhecida. As perguntas são:
- (a) Determinar o valor de
. - (b) Calcular
.
Passo 2
Princípio básico: para qualquer variável aleatória discreta, a soma das probabilidades sobre todos os valores possíveis deve valer 1. Aqui os valores possíveis são
. Portanto vale a equação de normalização
Substituindo
obtemos a equação
Passo 3
Fatorando
para fora da soma temos
Calcular a soma
(o chamado
, a quinta harmônica). Fazendo com denominador comum
:
Somando os numeradores:
logo
Substituindo na equação de normalização:
Passo 4
Agora calcular
. Método direto: somar as probabilidades para
:
Note que
. Já sabemos
, então
Multiplicando por
resulta
Passo 5
Verificação rápida por complemento (checar consistência):
. Como
, então
que coincide com o resultado obtido no passo anterior. Tudo consistente.