Considere três lotes de 20 peças cada. O número de peças dentro do padrão no primeiro, segundo e terceiro lotes são, respectivamente, 20,15 e 10 . De um lote escolhido ao acaso, retira-se uma peça aleatoriamente e verifica-se que está dentro do padrão. Devolve-se a peça ao lote e efetua-se uma nova retirada do mesmo lote e verifica-se que a segunda peça também está dentro do padrão.
a) Qual a probabilidade das duas peças retiradas estarem dentro do padrão?
b) Qual a probabilidade dessas duas peças terem sido retiradas do terceiro lote?
a) Qual a probabilidade das duas peças retiradas estarem dentro do padrão?
b) Qual a probabilidade dessas duas peças terem sido retiradas do terceiro lote?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- Há três lotes idênticos em tamanho, cada um com
peças. - O número de peças dentro do padrão em cada lote é:
- Primeiro lote:
peças dentro do padrão. - Segundo lote:
peças dentro do padrão. - Terceiro lote:
peças dentro do padrão.
- Primeiro lote:
- Um lote é escolhido ao acaso (ou seja, cada lote tem probabilidade igual de ser escolhido).
- Do lote escolhido retira-se uma peça aleatoriamente; ela é verificada como estando dentro do padrão.
- A peça é devolvida ao lote (portanto o segundo sorteio do mesmo lote é independente do primeiro).
- Retira-se novamente uma peça do mesmo lote e ela também está dentro do padrão.
O enunciado pede:
- (a) A probabilidade de que as duas peças retiradas (nessa sequência: escolher lote aleatoriamente, tirar e devolver, tirar de novo) estejam dentro do padrão.
- (b) Dada a informação de que as duas peças estão dentro do padrão, qual a probabilidade de que o lote escolhido tenha sido o terceiro lote?
Passo 2
Modelagem probabilística e fórmulas que vamos usar (explicadinha como numa aulinha rápida).
- Denotemos pelos eventos:
-
: o evento “foi escolhido, respectivamente, o 1º, 2º ou 3º lote”. Como a escolha é ao acaso entre três lotes, temos -
: o evento “as duas peças retiradas estão dentro do padrão”.
-
- Como a peça é devolvida entre os sorteios, os dois sorteios são independentes condicionados ao lote escolhido. Se num lote há
peças dentro do padrão entre , a probabilidade de retirar uma peça dentro do padrão num sorteio é . Então, condicionada ao lote , a probabilidade das duas retiradas estarem dentro do padrão é onde é o número de peças dentro do padrão no lote . - Para a probabilidade total de
(parte a), usamos a Lei da Probabilidade Total: - Para a probabilidade pedida na parte (b), queremos
. Usamos o Teorema de Bayes:
Passo 3
Calcular
para cada lote (isto é, a probabilidade de retirar duas peças dentro do padrão se o lote escolhido for o
-ésimo).
- Para o primeiro lote:
. Então (Se todas as peças estão dentro do padrão, duas retiradas com reposição dão sempre sucesso.) - Para o segundo lote:
. Então - Para o terceiro lote:
. Então
Passo 4
Aplicar a Lei da Probabilidade Total para obter
(parte a).
Usando
e
, temos
Agora faz a soma dentro do parêntese: escrever tudo com denominador
:
portanto
Logo
Como verificação decimal,
Passo 5
Aplicar Bayes para calcular
(parte b).
Usando
substituímos
,
e
. Assim,
Fazendo a divisão de frações:
Em decimal,
Passo 6
Interpretação rápida e intuitiva (uma palavra de ânimo).
- A probabilidade de ambas as peças estarem dentro do padrão é relativamente alta (
) principalmente porque o primeiro lote garante sucesso certo se for escolhido. - Mesmo assim, dado que houve sucesso nas duas retiradas, a chance de que o lote escolhido tenha sido o terceiro (que tem menos peças boas) é pequena:
. Faz sentido: lotes com mais peças boas são mais prováveis de produzir duas retiradas “boas”, então eles ficam com maior probabilidade a posteriori.