Considere três lotes de 20 peças cada. O número de peças dentro do padrão no primeiro, segundo e terceiro lotes são, respectivamente, 20,15 e 10 . De um lote escolhido ao acaso, retira-se uma peça aleatoriamente e verifica-se que está dentro do padrão. Devolve-se a peça ao lote e efetua-se uma nova retirada do mesmo lote e verifica-se que a segunda peça também está dentro do padrão.
a) Qual a probabilidade das duas peças retiradas estarem dentro do padrão?
b) Qual a probabilidade dessas duas peças terem sido retiradas do terceiro lote?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Há três lotes idênticos em tamanho, cada um com 20 peças.
  • O número de peças dentro do padrão em cada lote é:
    • Primeiro lote: 20 peças dentro do padrão.
    • Segundo lote: 15 peças dentro do padrão.
    • Terceiro lote: 10 peças dentro do padrão.
  • Um lote é escolhido ao acaso (ou seja, cada lote tem probabilidade igual de ser escolhido).
  • Do lote escolhido retira-se uma peça aleatoriamente; ela é verificada como estando dentro do padrão.
  • A peça é devolvida ao lote (portanto o segundo sorteio do mesmo lote é independente do primeiro).
  • Retira-se novamente uma peça do mesmo lote e ela também está dentro do padrão.
O enunciado pede:
  • (a) A probabilidade de que as duas peças retiradas (nessa sequência: escolher lote aleatoriamente, tirar e devolver, tirar de novo) estejam dentro do padrão.
  • (b) Dada a informação de que as duas peças estão dentro do padrão, qual a probabilidade de que o lote escolhido tenha sido o terceiro lote?

Passo 2

Modelagem probabilística e fórmulas que vamos usar (explicadinha como numa aulinha rápida).
  • Denotemos pelos eventos:
    • L_1, L_2, L_3: o evento “foi escolhido, respectivamente, o 1º, 2º ou 3º lote”. Como a escolha é ao acaso entre três lotes, temos P(L_1)=P(L_2)=P(L_3)=\frac{1}{3}.
    • A: o evento “as duas peças retiradas estão dentro do padrão”.
  • Como a peça é devolvida entre os sorteios, os dois sorteios são independentes condicionados ao lote escolhido. Se num lote há k peças dentro do padrão entre 20, a probabilidade de retirar uma peça dentro do padrão num sorteio é \dfrac{k}{20}. Então, condicionada ao lote L_i, a probabilidade das duas retiradas estarem dentro do padrão é P(A\mid L_i)=\left(\frac{k_i}{20}\right)^2,onde k_i é o número de peças dentro do padrão no lote i.
  • Para a probabilidade total de A (parte a), usamos a Lei da Probabilidade Total: P(A)=\sum_{i=1}^{3} P(L_i)\,P(A\mid L_i).
  • Para a probabilidade pedida na parte (b), queremos P(L_3\mid A). Usamos o Teorema de Bayes: P(L_3\mid A)=\frac{P(L_3)\,P(A\mid L_3)}{P(A)}.

Passo 3

Calcular P(A\mid L_i) para cada lote (isto é, a probabilidade de retirar duas peças dentro do padrão se o lote escolhido for o i-ésimo).
  • Para o primeiro lote: k_1=20. Então P(A\mid L_1)=\left(\frac{20}{20}\right)^2=1^2=1.(Se todas as peças estão dentro do padrão, duas retiradas com reposição dão sempre sucesso.)
  • Para o segundo lote: k_2=15. Então P(A\mid L_2)=\left(\frac{15}{20}\right)^2=\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}.
  • Para o terceiro lote: k_3=10. Então P(A\mid L_3)=\left(\frac{10}{20}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.

Passo 4

Aplicar a Lei da Probabilidade Total para obter P(A) (parte a).
Usando
P(A)=\sum_{i=1}^{3} P(L_i)\,P(A\mid L_i)
e P(L_i)=\dfrac{1}{3}, temos
P(A)=\frac{1}{3}\left(1 + \frac{9}{16} + \frac{1}{4}\right).
Agora faz a soma dentro do parêntese: escrever tudo com denominador 16:
1=\frac{16}{16},\qquad \frac{1}{4}=\frac{4}{16},
portanto
1+\frac{9}{16}+\frac{1}{4}=\frac{16}{16}+\frac{9}{16}+\frac{4}{16}=\frac{29}{16}.
Logo
P(A)=\frac{1}{3}\cdot\frac{29}{16}=\frac{29}{48}.
Como verificação decimal,
\frac{29}{48}\approx 0{,}6041667.

Passo 5

Aplicar Bayes para calcular P(L_3\mid A) (parte b).
Usando
P(L_3\mid A)=\frac{P(L_3)\,P(A\mid L_3)}{P(A)},
substituímos P(L_3)=\dfrac{1}{3}, P(A\mid L_3)=\dfrac{1}{4} e P(A)=\dfrac{29}{48}. Assim,
P(L_3\mid A)=\frac{\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{4}}{\dfrac{29}{48}}=\frac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{29}{48}}.
Fazendo a divisão de frações:
P(L_3\mid A)=\frac{1}{12}\cdot\frac{48}{29}=\frac{4}{29}.
Em decimal,
\frac{4}{29}\approx 0{,}1379310\quad(\text{aprox. }13{,}79\%).

Passo 6

Interpretação rápida e intuitiva (uma palavra de ânimo).
  • A probabilidade de ambas as peças estarem dentro do padrão é relativamente alta ( \approx60{,}4\%) principalmente porque o primeiro lote garante sucesso certo se for escolhido.
  • Mesmo assim, dado que houve sucesso nas duas retiradas, a chance de que o lote escolhido tenha sido o terceiro (que tem menos peças boas) é pequena: \dfrac{4}{29}\approx13{,}8\%. Faz sentido: lotes com mais peças boas são mais prováveis de produzir duas retiradas “boas”, então eles ficam com maior probabilidade a posteriori.

Resposta

\dfrac{29}{48}\approx0{,}6041667
\dfrac{4}{29}\approx0{,}1379310

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