Considere que 20 \% das garrafas produzidas em uma fábrica são defeituosas. Se uma garrafa for defeituosa, a probabilidade do controle de qualidade retirar a garrafa da 1 inha de produção é 0,9 . Se a garrafa não for defeituosa, a probabilidade do controle de qualidade, por engano, retirar a garrrafa da linha de produção como defeituosa é 0,2 .
a) Se uma garrafa é retirada da linha de produção, qual a probabilidade de que seja defeituosa?
b) Qual a probabilidade de que uma garrafa defeituosa seja mantida na linha de produção?
Resposta: a) 18 / 34; b) 1 / 10.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dado:
  • A fração de garrafas defeituosas é \,0{,}2 (ou 20\%).
  • Se a garrafa é defeituosa, a probabilidade de o controle retirá-la da linha é \,0{,}9.
  • Se a garrafa não é defeituosa, a probabilidade de o controle retirá-la por engano é \,0{,}2.
Perguntas:
  1. Se uma garrafa foi retirada da linha, qual a probabilidade de que ela seja defeituosa? (quero P(\text{defeituosa}\mid\text{retirada}))
  2. Qual a probabilidade de que uma garrafa defeituosa seja mantida na linha de produção? (quero P(\text{mantida}\mid\text{defeituosa}))

Passo 2

Defino eventos e notação (para ficar claro):
  • D = evento “garrafa é defeituosa”.
  • D^c = evento “garrafa não é defeituosa”.
  • R = evento “garrafa é retirada da linha”.
  • M = evento “garrafa é mantida na linha” (observe que M é complemento de R para uma garrafa dada).
Probabilidades fornecidas:
P(D)=0{,}2,\qquad P(D^c)=0{,}8,
P(R\mid D)=0{,}9,\qquad P(R\mid D^c)=0{,}2.
Explicação rápida das ferramentas que vamos usar:
  • Regra da probabilidade total: para calcular P(R) quando R pode ocorrer vindo de D ou D^c,
P(R)=P(D)P(R\mid D)+P(D^c)P(R\mid D^c).
  • Teorema de Bayes: para obter P(D\mid R),
P(D\mid R)=\frac{P(D)P(R\mid D)}{P(R)}.
  • Complemento: P(M\mid D)=1-P(R\mid D).

Passo 3

Calcular P(R) usando a regra da probabilidade total.
Substituo os valores conhecidos na fórmula:
P(R)=P(D)P(R\mid D)+P(D^c)P(R\mid D^c).
P(R)=0{,}2\cdot 0{,}9 + 0{,}8\cdot 0{,}2.
Faço as multiplicações passo a passo:
0{,}2\cdot 0{,}9 = 0{,}18, \qquad 0{,}8\cdot 0{,}2 = 0{,}16.
Agora somo:
P(R)=0{,}18+0{,}16=0{,}34.

Passo 4

Calcular P(D\mid R) com o Teorema de Bayes.
A fórmula é
P(D\mid R)=\frac{P(D)P(R\mid D)}{P(R)}.
Substituo os valores que já tenho:
P(D\mid R)=\frac{0{,}2\cdot 0{,}9}{0{,}34}.
Calculo o numerador:
0{,}2\cdot 0{,}9=0{,}18.
Portanto a fração é
P(D\mid R)=\frac{0{,}18}{0{,}34}.
Para escrever em fração inteira equivalente, multiplico numerador e denominador por 100:
\frac{0{,}18}{0{,}34}=\frac{18}{34}.

Passo 5

Calcular a probabilidade de que uma garrafa defeituosa seja mantida na linha, isto é P(M\mid D).
Usando complemento:
P(M\mid D)=1-P(R\mid D).
Substituo:
P(M\mid D)=1-0{,}9=0{,}1.
Em fração:
0{,}1=\frac{1}{10}.

Passo 6

Dica rápida para a prova (como aplicar isto passo a passo):
  • Identifique claramente os eventos (aqui D, R).
  • Pegue as probabilidades condicionais dadas e a proporção de cada tipo ( P(D) e P(D^c)).
  • Primeiro calcule P(R) pela regra da probabilidade total (somando as contribuições de D e D^c).
  • Depois aplique Bayes para achar P(D\mid R).
  • Para questões sobre “manter” ou “não retirar”, use o complemento 1-P(\text{retirar}\mid\cdot).
    Isso é um padrão que vale para muitos problemas com detecção/erro (testes médicos, controle de qualidade etc.). Força aí — com esse roteiro dá pra fazer rápido na prova!

Resposta

\dfrac{18}{34}
\dfrac{1}{10}

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