Considere que
das garrafas produzidas em uma fábrica são defeituosas. Se uma garrafa for defeituosa, a probabilidade do controle de qualidade retirar a garrafa da 1 inha de produção é 0,9 . Se a garrafa não for defeituosa, a probabilidade do controle de qualidade, por engano, retirar a garrrafa da linha de produção como defeituosa é 0,2 .
a) Se uma garrafa é retirada da linha de produção, qual a probabilidade de que seja defeituosa?
b) Qual a probabilidade de que uma garrafa defeituosa seja mantida na linha de produção?
Resposta: a)
; b)
.
a) Se uma garrafa é retirada da linha de produção, qual a probabilidade de que seja defeituosa?
b) Qual a probabilidade de que uma garrafa defeituosa seja mantida na linha de produção?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dado:
- A fração de garrafas defeituosas é
(ou ). - Se a garrafa é defeituosa, a probabilidade de o controle retirá-la da linha é
. - Se a garrafa não é defeituosa, a probabilidade de o controle retirá-la por engano é
.
Perguntas:
- Se uma garrafa foi retirada da linha, qual a probabilidade de que ela seja defeituosa? (quero
) - Qual a probabilidade de que uma garrafa defeituosa seja mantida na linha de produção? (quero
)
Passo 2
Defino eventos e notação (para ficar claro):
-
= evento “garrafa é defeituosa”. -
= evento “garrafa não é defeituosa”. -
= evento “garrafa é retirada da linha”. -
= evento “garrafa é mantida na linha” (observe que é complemento de para uma garrafa dada).
Probabilidades fornecidas:
Explicação rápida das ferramentas que vamos usar:
- Regra da probabilidade total: para calcular
quando pode ocorrer vindo de ou ,
- Teorema de Bayes: para obter
,
- Complemento:
.
Passo 3
Calcular
usando a regra da probabilidade total.
Substituo os valores conhecidos na fórmula:
Faço as multiplicações passo a passo:
Agora somo:
Passo 4
Calcular
com o Teorema de Bayes.
A fórmula é
Substituo os valores que já tenho:
Calculo o numerador:
Portanto a fração é
Para escrever em fração inteira equivalente, multiplico numerador e denominador por
:
Passo 5
Calcular a probabilidade de que uma garrafa defeituosa seja mantida na linha, isto é
.
Usando complemento:
Substituo:
Em fração:
Passo 6
Dica rápida para a prova (como aplicar isto passo a passo):
- Identifique claramente os eventos (aqui
, ). - Pegue as probabilidades condicionais dadas e a proporção de cada tipo (
e ). - Primeiro calcule
pela regra da probabilidade total (somando as contribuições de e ). - Depois aplique Bayes para achar
. - Para questões sobre “manter” ou “não retirar”, use o complemento
.
Isso é um padrão que vale para muitos problemas com detecção/erro (testes médicos, controle de qualidade etc.). Força aí — com esse roteiro dá pra fazer rápido na prova!