Huguinho, que é escoteiro, caminha 2,4 km a leste de seu acampamento, em seguida virase para a esquerda e caminha 2,4 km ao longo do arco de um círculo centrado no acampamento e, finalmente, caminha 1,5 km em direção ao acampamento.
Determine a orientação do vetor deslocamento e o seu ângulo com a direção latitudinal.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado tá pedindo. O Huguinho sai do acampamento (que a gente põe na origem, digamos ), faz três andanças:
  1. Anda km para leste.
  2. Vira à esquerda (ou seja, para o norte) e caminha km ao longo de um arco de círculo de raio km centrado no acampamento.
  3. Anda km em linha reta de volta em direção ao acampamento.
O que queremos no final é o vetor deslocamento resultante (módulo e direção) e o ângulo que esse vetor faz com a direção latitudinal (isto é, leste–oeste).
Matéria envolvida: vetores no plano, soma de vetores e relação entre arco, raio e ângulo ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir cada trecho em vetor no plano cartesiano (x = leste, y = norte). Isso ajuda a somar tudo no final.
(1) Deslocamento para leste de v1 = (2,4,;0) km:

Passo 3

(2) Deslocamento ao longo do arco.
  • O raio do círculo é (x2,y2) ;=; l(Rcostheta,;Rsinthetar) =l(2,4cos1,;2,4sin1r) km.
  • O comprimento do arco é v2 =l(2,4cos1 - 2,4,;2,4sin1 - 0r) = l(2,4(cos1 -1),;2,4sin1r) km.
  • Então o ângulo percorrido (em radianos) é
Ele começa em (isto é, ângulo zero no círculo) e vai girando “para cima” (CCW) até o ângulo .
A posição final nesse arco é
Mas o vetor de deslocamento é a diferença entre essa posição e o ponto de partida do arco:

Passo 4

(3) Deslocamento de volta ao acampamento, v3 = -1,5,(cos1,;sin1) = l(-1,5cos1,;-1,5sin1r) km em linha reta.
Ele está em e vai em direção a .
O vetor radial para o centro é (unitário) e o comprimento é , então

Passo 5

Agora basta somar tudo:
v = v1 + v2 + v3
Vamos calcular componente a componente.
Componente vx = 2,4 + 2,4(cos1 -1) -1,5cos1 =2,4cos1 -1,5cos1 + 2,4 -2,4 =(2,4-1,5)cos1 =0,9cos1 :
vx approx 0,9times0,5403 approx 0,4863 (km)
Mas para ficar num número, usando vy = 0 +2,4sin1 -1,5sin1 =(2,4-1,5)sin1 =0,9sin1 :
vy approx 0,9times0,8415 approx 0,7574 (km)
Componente :
Com :

Passo 6

Agora o módulo e a direção desse vetor:
Módulo
|v| = raizvx^2 + vy^2 approx raiz0,4863^2 + 0,7574^2 approx 0,90 km
Ângulo alpha = arctan!l(tfracvyvxr) approx arctan!l(tfrac0,75740,4863r) approx 57,9^circ em relação ao eixo leste (x), medido CCW (norte de leste):

Resposta

O deslocamento total de Huguinho tem módulo aproximadamente
|v|approx 0,90 km,
e aponta a
57,9^circ
norte do leste (ou seja, acima da direção latitudinal leste–oeste).

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