Huguinho, que é escoteiro, caminha
a leste de seu acampamento, em seguida virase para a esquerda e caminha
ao longo do arco de um círculo centrado no acampamento e, finalmente, caminha
em direção ao acampamento.
Determine a orientação do vetor deslocamento e o seu ângulo com a direção latitudinal.
Determine a orientação do vetor deslocamento e o seu ângulo com a direção latitudinal.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado tá pedindo. O Huguinho sai do acampamento (que a gente põe na origem, digamos
), faz três andanças:
- Anda
km para leste. - Vira à esquerda (ou seja, para o norte) e caminha
km ao longo de um arco de círculo de raio km centrado no acampamento. - Anda
km em linha reta de volta em direção ao acampamento.
O que queremos no final é o vetor deslocamento resultante (módulo e direção) e o ângulo que esse vetor faz com a direção latitudinal (isto é, leste–oeste).
Matéria envolvida: vetores no plano, soma de vetores e relação entre arco, raio e ângulo (
).
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir cada trecho em vetor no plano cartesiano (x = leste, y = norte). Isso ajuda a somar tudo no final.
(1) Deslocamento para leste de
km:
Passo 3
(2) Deslocamento ao longo do arco.
- O raio do círculo é
km. - O comprimento do arco é
km. - Então o ângulo percorrido (em radianos) é
Ele começa em
(isto é, ângulo zero no círculo) e vai girando “para cima” (CCW) até o ângulo
.
A posição final nesse arco é
A posição final nesse arco é
Mas o vetor de deslocamento
é a diferença entre essa posição e o ponto de partida do arco:
Passo 4
(3) Deslocamento de volta ao acampamento,
km em linha reta.
Ele está em e vai em direção a
.
O vetor radial para o centro é (unitário) e o comprimento é
, então
Ele está em
O vetor radial para o centro é
Passo 5
Agora basta somar tudo:
Vamos calcular componente a componente.
Componente
:
Mas para ficar num número, usando
:
Componente
:
Com
:
Passo 6
Agora o módulo e a direção desse vetor:
Módulo
Módulo
Ângulo
em relação ao eixo leste (x), medido CCW (norte de leste):
Resposta
O deslocamento total de Huguinho tem módulo aproximadamente
e aponta a
norte do leste (ou seja,
acima da direção latitudinal leste–oeste).