Uma partícula possui um vetor posição dado por:
r=(20 t+5,0 t^2) i+(20 t-4,5 t^3) j
na qual r é expresso em metros e t em segundos.
Calcule a velocidade vetorial média entre os instantes do item a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o vetor posição da partícula em função do tempo:
vec r(t) = l(20,t + 5,0,t^2r),hatimath ;+;l(20,t - 4,5,t^3r),hatjmath
onde t está em segundos e vec r em metros.
O conteúdo aqui é “cinemática vetorial”: mais especificamente, a definição de velocidade média num intervalo de tempo.
Para resolver, vamos precisar de:
  1. A definição de velocidade média
  2. Avaliar vec r(t) nos instantes inicial ( t1) e final ( t2)
  3. Fazer l[vec r(t2)-vec r(t1)r]/(t2-t1)

Passo 2

Definição de velocidade média (vetorial):
barvec v ;=;De
Em palavras: é a variação do vetor posição dividida pela duração do intervalo de tempo.

Passo 3

Vamos achar a variação de cada componente:
  1. Componente x (na direção hatimath): De
  2. Componente y (na direção hatjmath): De

Passo 4

Agora dividimos cada De pelo intervalo (t2-t1) e simplificamos usando as fórmulas
t2^2-t1^2=(t2-t1)(t2+t1), t2^3-t1^3=(t2-t1)(t2^2+t2,t1+t1^2)
1) Componente em hatimath:
$$
\bar v_x
= \frac{20,(t_2-t_1)+5{,}0,(t_22-t_12)}{t_2-t_1}
= 20 ;+;5{,}0,(t_2+t_1).
bar vx = 20,(t2-t1)+5,0,(t2^2-t1^2)t2-t1 = 20 ;+;5,0,(t2+t1)
\bar v_y
= \frac{20,(t_2-t_1)-4{,}5,(t_23-t_13)}{t_2-t_1}
= 20 ;-;4{,}5,(t_2^2 + t_2,t_1 + t_1^2).
$$

Resposta

A velocidade vetorial média entre t1 e t2 é
boxed barvec v = l[,20 ;+;5,0,(t2+t1)r],hatimath ;+;l[,20 ;-;4,5,(t2^2 + t2,t1 + t1^2)r],hatjmath ,

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