(i) Ache a base dual das bases
a) de .
b) de .
(ii) Seja o funcional linear . Quais são as coordenadas deste funcional em termos da base dual de ?
Observação: Nós sabemos que todo funcional linear em é dado por e todo funcional linear em é dado por . Achar a base dual é o mesmo que achar três funcionais lineares e , ou seja, determinar os valores de e para cada um deles, de forma que os funcionais satisfaçam a relação , em que são os elementos da base .
Passo 1
O enunciado pede (i) achar a base dual de duas bases:
a) em .
b) em .
E (ii) expressar o funcional em coordenadas na base dual de em .
Para isso usamos a definição de base dual: se , a base dual satisfaz
Passo 2
Encontrar a base dual de . Seja
Formamos a matriz cujas colunas são :
Sejam fi(x,y,z)=(ai,bi,ci)cdot(x,y,z). A condição fi(uj)=de<aij implica
(ai,bi,ci),uj=de<aij,
isto é, as linhas de U^-1 são exatamente os vetores (ai,bi,ci).
Passo 3
Calcular U^-1. O determinante é det U=-4 e a matriz adjunta transposta (adjugate) é