(i) Ache a base dual das bases
a) B=((1,1,2),(1,2,0),(3,4,0)) de R^3.
b) B=(1, t, 1-t^2) de P2(F).
(ii) Seja f: R^3 R o funcional linear f(x, y, z)=x. Quais são as coordenadas deste funcional em termos da base dual de B ?
Observação: Nós sabemos que todo funcional linear em R^3 é dado por f((x, y, z))=a x+b y+c z e todo funcional linear em P2(F) é dado por F(x+y t+z t^2)=a x+b y+c z. Achar a base dual é o mesmo que achar três funcionais lineares f1, f2 e f3, ou seja, determinar os valores de a, b e c para cada um deles, de forma que os funcionais satisfaçam a relação fi(uj)=de<ai j, em que uj são os elementos da base B.

Passo 1

O enunciado pede (i) achar a base dual de duas bases:
a) B=((1,1,2),(1,2,0),(3,4,0)) em R^3.
b) B=(1,t,1-t^2) em P2(F).
E (ii) expressar o funcional f(x,y,z)=x em coordenadas na base dual de B em R^3.
Para isso usamos a definição de base dual: se B=(u1,u2,u3), a base dual (f1,f2,f3) satisfaz
fi(uj)=de<aij,

Passo 2

Encontrar a base dual de BsubsetR^3. Seja
u1=(1,1,2), u2=(1,2,0), u3=(3,4,0)
Formamos a matriz U cujas colunas são u1,u2,u3:
U= 1 & 1 & 3 1 & 2 & 4 2 & 0 & 0
Sejam fi(x,y,z)=(ai,bi,ci)cdot(x,y,z). A condição fi(uj)=de<aij implica
(ai,bi,ci),uj=de<aij,
isto é, as linhas de U^-1 são exatamente os vetores (ai,bi,ci).

Passo 3

Calcular U^-1. O determinante é det U=-4 e a matriz adjunta transposta (adjugate) é
adj(U)= 0 & 0 & -2 8 & -6 & -1 -4 & 2 & 1
Logo
U^-1=1-4adj(U) = 0 & 0 & tfrac12 -2 & tfrac32 & tfrac14 1 & -tfrac12 & -tfrac14
As linhas dão os fi:
f1(x,y,z)=12,z, f2(x,y,z)=-2x+32,y+14,z, f3(x,y,z)=x-12,y-14,z

Passo 4

Encontrar a base dual de Bsubset P2(F), onde
u1=1, u2=t, u3=1-t^2
Escrevemos um funcional genérico
Phi(x+y,t+z,t^2)=a,x+b,y+c,z
e impomos Phi(uj)=de<aij. Das condições
Phi(1)=a=de<ai1, Phi(t)=b=de<ai2, Phi(1-t^2)=a-c=de<ai3
segue, para i=1,2,3:
phi1(x+y,t+z,t^2)=x+z, phi2(x+y,t+z,t^2)=y, phi3(x+y,t+z,t^2)=-,z

Passo 5

Expressar f(x,y,z)=x em coordenadas na base dual f1,f2,f3. Basta computar
f(uj)=f(uj^1,uj^2,uj^3)
para u1=(1,1,2), u2=(1,2,0), u3=(3,4,0):
f(u1)=1, f(u2)=1, f(u3)=3
Logo as coordenadas de f são (1,1,3).

Resposta

(i.a) Dual de l((1,1,2),(1,2,0),(3,4,0)r) em R^3:
f1(x,y,z)=12,z, f2(x,y,z)=-2x+32,y+14,z, f3(x,y,z)=x-12,y-14,z
(i.b) Dual de l(1,t,1-t^2r) em P2(F):
phi1(x+y,t+z,t^2)=x+z, phi2(x+y,t+z,t^2)=y, phi3(x+y,t+z,t^2)=-,z
(ii) Coordenadas de f(x,y,z)=x na base dual de BsubsetR^3:
(1,1,3)

Exercícios relacionados