Sejam
um espaço vetorial sobre
de dimensão
e
um espaço vetorial sobre
de dimensão
. Consideremos
e
duas transformações lineares. Qual é o maior valor que a
pode ter? Use isto para mostrar que se
e
, então a matriz
não é inversível. Isto generaliza o exercício 9 da lista 1 .
Passo 1
O enunciado fala de dois espaços vetoriais sobre
,
com
e
com
. Temos duas aplicações lineares
e queremos achar o maior valor possível de
. Em seguida vamos aplicar esse resultado ao caso matricial com
e
para mostrar que
não é inversível quando
.
Passo 2
Usamos a desigualdade geral para a dimensão da imagem de uma composição:
Mas como
, a imagem de
está contida em
, logo
Portanto
Passo 3
Concluímos que o maior valor possível de
é
. Em particular, como
, a composição
nunca pode ter dimensão de imagem igual a
.
Passo 4
Uma transformação linear em
é invertível se, e somente se, for sobrejetora (ou seja, tiver dimensão de imagem igual a
). Mas acabamos de ver que
então
NÃO pode ser invertível.
Passo 5
No caso das matrizes, interpretamos
Então
é justamente a composição
em
. Pelos passos anteriores temos
ou seja, . Logo
não é sobrejetora em
e, portanto, não é inversível.
Resposta
O maior valor de
é
. Consequentemente, quando
, a matriz
tem posto
e não é inversível.