Sejam V um espaço vetorial sobre F de dimensão n e W um espaço vetorial sobre F de dimensão m<n. Consideremos F: V W e G: W V duas transformações lineares. Qual é o maior valor que a dim(Im(G circ F)) pode ter? Use isto para mostrar que se A in Mn times m(F), B in Mm times n(F) e m<n, então a matriz A B não é inversível. Isto generaliza o exercício 9 da lista 1 .

Passo 1

O enunciado fala de dois espaços vetoriais sobre F, V com dim V = n e W com dim W = m<n. Temos duas aplicações lineares
F colon V to W e G colon W to V
e queremos achar o maior valor possível de diml(Im(Gcirc F)r). Em seguida vamos aplicar esse resultado ao caso matricial com Ain Mntimes m(F) e Bin Mmtimes n(F) para mostrar que AB não é inversível quando m<n.

Passo 2

Usamos a desigualdade geral para a dimensão da imagem de uma composição:
diml(Im(Gcirc F)r) ;<=; diml(Im Fr)
Mas como Fcolon Vto W, a imagem de F está contida em W, logo
diml(Im Fr);<=;dim W ;=; m
Portanto
diml(Im(Gcirc F)r);<=; m

Passo 3

Concluímos que o maior valor possível de diml(Im(Gcirc F)r) é m. Em particular, como m<n, a composição Gcirc Fcolon Vto V nunca pode ter dimensão de imagem igual a n.

Passo 4

Uma transformação linear em V é invertível se, e somente se, for sobrejetora (ou seja, tiver dimensão de imagem igual a dim V=n). Mas acabamos de ver que
diml(Im(Gcirc F)r)<= m < n,
então Gcirc F NÃO pode ser invertível.

Passo 5

No caso das matrizes, interpretamos
Então é justamente a composição em . Pelos passos anteriores temos
ou seja, . Logo não é sobrejetora em e, portanto, não é inversível.

Resposta

O maior valor de diml(Im(Gcirc F)r) é m. Consequentemente, quando m<n, a matriz AB tem posto <= m<n e não é inversível.

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