Considere a transformação linear F: R^3 P2(R), que leva um vetor do R^3 a um polinômio de grau <= 2. A transformação é dada pela expressão
F(x, y, z)=x+y t+z t^2
(a) Calcule F(1,0,0), F(0,1,0) e F(0,0,1).
(b) Calcule F(2(1,0,0)-(0,1,0)+3(0,0,1)).
(c) Calcule F(2,-1,3).
(d) Calcule F(x0, v0, g2).
(e) Para quais valores de alpha, beta e gamma temos F(alpha, beta, gamma)=1-2 t+t^2 ?
Com isso, você calculou a transformação inversa F^-1(1-2 t+t^2)=(alpha, beta gamma). Note que essa inversa, F^-1: P2(R) R^3, leva um polinômio a um vetor do R^3.
(f) Faça o mesmo procedimento do item anterior, mas a fim de obter a expressão geral F^-1(a+b t+c t^2).

Passo 1

Estamos trabalhando com a transformação linear
Fcolon R^3 to P2(R), F(x,y,z) = x + y,t + z,t^2
Ou seja, damos um vetor (x,y,z) e obtemos o polinômio x + yt + zt^2. Vamos usar a definição direta para calcular imagens de vetores e depois, para inverter, comparar coeficientes.

Passo 2

(a) Para os vetores canônicos de R^3, basta pôr (x,y,z) igual a cada um:
F(1,0,0) = 1 + 0cdot t + 0cdot t^2 = 1,
F(0,1,0) = 0 + 1cdot t + 0cdot t^2 = t,
F(0,0,1) = 0 + 0cdot t + 1cdot t^2 = t^2

Passo 3

(b) Para
v = 2(1,0,0) - (0,1,0) + 3(0,0,1),
usamos linearidade:
F(v) = 2F(1,0,0) - F(0,1,0) + 3F(0,0,1) = 2cdot 1 - t + 3,t^2 = 2 - t + 3t^2

Passo 4

(c) Note que (2,-1,3) = 2(1,0,0) -1,(0,1,0) +3,(0,0,1). Então
F(2,-1,3) = 2 - t + 3t^2

Passo 5

(d) Basta aplicar a regra com (x,y,z)=(x0,v0,tfrac g2). Logo
Fl(x0,v0,tfrac g2r) = x0 + v0,t + tfrac g2,t^2

Passo 6

(e) Queremos alpha,beta,gamma tais que
F(alpha,beta,gamma) = alpha + beta,t + gamma,t^2 = 1 - 2t + t^2
Comparando coeficientes:
alpha = 1, beta = -2, gamma = 1.

Passo 7

(f) Para um polinômio genérico a + b,t + c,t^2, a inversa satisfaz
F^-1(a + b,t + c,t^2) = (a,b,c),
pois F(a,b,c)=a + bt + ct^2.

Resposta

(a) F(1,0,0)=1,;F(0,1,0)=t,;F(0,0,1)=t^2.
(b) Fl(2(1,0,0)-(0,1,0)+3(0,0,1)r)=2 - t + 3t^2.
(c) F(2,-1,3)=2 - t + 3t^2.
(d) Fl(x0,v0,tfrac g2r)=x0 + v0,t + tfrac g2,t^2.
(e) alpha=1,;beta=-2,;gamma=1.
(f) F^-1(a + b,t + c,t^2) = (a,b,c).

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