Considere a transformação linear
, que leva um vetor do
a um polinômio de grau
. A transformação é dada pela expressão
(a) Calcule
e
.
(b) Calcule
.
(c) Calcule
.
(d) Calcule
.
(e) Para quais valores de
e
temos
?
Com isso, você calculou a transformação inversa
. Note que essa inversa,
, leva um polinômio a um vetor do
.
(f) Faça o mesmo procedimento do item anterior, mas a fim de obter a expressão geral
.
(b) Calcule
(c) Calcule
(d) Calcule
(e) Para quais valores de
(f) Faça o mesmo procedimento do item anterior, mas a fim de obter a expressão geral
Passo 1
Estamos trabalhando com a transformação linear
Ou seja, damos um vetor
e obtemos o polinômio
. Vamos usar a definição direta para calcular imagens de vetores e depois, para inverter, comparar coeficientes.
Passo 2
(a) Para os vetores canônicos de
, basta pôr
igual a cada um:
Passo 3
(b) Para
usamos linearidade:
Passo 4
(c) Note que
. Então
Passo 5
(d) Basta aplicar a regra com
. Logo
Passo 6
(e) Queremos
tais que
Comparando coeficientes:
,
,
.
Passo 7
(f) Para um polinômio genérico
, a inversa satisfaz
pois
.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) .
(e) .
(f) .
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)