(i) Ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f;
(ii) escreva a série de potências que define a função f^prime e ache seu raio de convergência;
(iii) Ache o domínio de f^prime.
f(x)=sumn=1^infty x^nn^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função gerada por séries de potências
f(x)=∑_{n=1}^∞ xn/n2
O conteúdo é teste de convergência de séries de potências e diferenciação termo a termo.

Passo 2

Para achar o raio de convergência de f usamos o teste da razão. Seja a_n = xn/n2. Então
limn→∞|an+1an| = limn→∞ |x| n^2(n+1)^2 = |x|
Para convergência precisamos |x|<1, ou seja, o raio R=1. Nos extremos x=1 temos ∑1/n^2 que converge (série p com p=2), e em x=-1 temos ∑(-1)n/n2 que converge absolutamente. Logo o domínio de f é [-1,1].

Passo 3

Diferenciando termo a termo em |x|<1: f’(x)=∑_{n=1}^∞ (n x{n-1})/n2 = ∑_{n=1}^∞ x^{n-1}/n. Podemos reindexar m=n-1 para escrever
f'(x)=∑m=0^∞ x^mm+1
Aplicando de novo o teste da razão ao termo b_m=x^m/(m+1) obtemos R=1.

Passo 4

Para o domínio de f’ verificamos os extremos: em x=1 temos ∑1/(m+1), que diverge (harmônica); em x=-1 temos ∑(-1)^m/(m+1), que converge por critério da série alternada. Assim o domínio de f’ é [-1,1).

Resposta

(i) R=1 e domínio de f é [-1,1]; (ii) f’(x)=∑_{m=0}^∞ x^m/(m+1) com raio R=1; (iii) domínio de f’ é [-1,1).

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