(i) Ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de
;
(ii) escreva a série de potências que define a função
e ache seu raio de convergência;
(iii) Ache o domínio de
.
(ii) escreva a série de potências que define a função
(iii) Ache o domínio de
Passo 1
O enunciado nos dá a função gerada por séries de potências
f(x)=∑_{n=1}^∞ xn/n2
O conteúdo é teste de convergência de séries de potências e diferenciação termo a termo.
f(x)=∑_{n=1}^∞ xn/n2
O conteúdo é teste de convergência de séries de potências e diferenciação termo a termo.
Passo 2
Para achar o raio de convergência de f usamos o teste da razão. Seja a_n = xn/n2. Então
Para convergência precisamos |x|<1, ou seja, o raio R=1. Nos extremos x=1 temos ∑1/n^2 que converge (série p com p=2), e em x=-1 temos ∑(-1)n/n2 que converge absolutamente. Logo o domínio de f é [-1,1].
Passo 3
Diferenciando termo a termo em |x|<1: f’(x)=∑_{n=1}^∞ (n x{n-1})/n2 = ∑_{n=1}^∞ x^{n-1}/n. Podemos reindexar m=n-1 para escrever
Aplicando de novo o teste da razão ao termo b_m=x^m/(m+1) obtemos R=1.
Passo 4
Para o domínio de f’ verificamos os extremos: em x=1 temos ∑1/(m+1), que diverge (harmônica); em x=-1 temos ∑(-1)^m/(m+1), que converge por critério da série alternada. Assim o domínio de f’ é [-1,1).
Resposta
(i) R=1 e domínio de f é [-1,1]; (ii) f’(x)=∑_{m=0}^∞ x^m/(m+1) com raio R=1; (iii) domínio de f’ é [-1,1).