(i) Ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f;
(ii) escreva a série de potências que define a função f^prime e ache seu raio de convergência;
(iii) Ache o domínio de f^prime.
f(x)=sumn=1^infty(-1)^n (x-3)^nn(n-1)

Passo 1

O enunciado define a função por uma série de potências centrada em 3:
f(x)=∑_{n=1}∞(-1)n\frac{(x-3)^n}{n(n-1)}
Precisamos usar teste da razão para achar raio de convergência e estudar os extremos, depois derivar termo a termo e repetir o processo para f’.

Passo 2

Para achar o raio de convergência de f aplicamos o teste da razão às coeficientes a_n=(-1)^n/(n(n-1)). Calculamos
L=limn→∞|an+1an|,|x-3|=limn→∞n(n-1)(n+1)n,|x-3|=|x-3|
Converge se L<1, ou seja, |x-3|<1. Logo o raio é R=1.

Passo 3

Agora testamos os extremos para f:
  1. x=4 ⇒ (x-3)=1, a n-ésima fica (-1)^n/(n(n-1)), que em módulo ~1/n^2, logo absolutamente convergente—ponto incluído.
  2. x=2 ⇒ (x-3)=-1, o termo é 1/(n(n-1)) que telescopa (pois 1/(n(n-1))=1/(n-1)-1/n), somando de n=2 a ∞ dá 1—converge.
    Portanto o domínio de f é [2,4].

Passo 4

Para f’ derivamos termo a termo (válido no interior do intervalo de conv.)
f'(x)=sumn=2^∞(-1)^nn(x-3)^n-1n(n-1)=sumn=2^∞(-1)^n(x-3)^n-1n-1
Fazendo a mudança k=n-1, fica
f'(x)=sumk=1^∞(-1)^k+1(x-3)^kk

Passo 5

Para o raio de convergência de f’ aplicamos novamente o teste da razão ao coeficiente b_k=(-1)^{k+1}/k e obtemos o mesmo R=1.
Agora checamos extremos:
• x=4 ⇒ (x-3)=1, série é ∑(-1)^{k+1}/k (série harmônica alternada) que converge condicionalmente ⇒ incluído.
• x=2 ⇒ (x-3)=-1, série é ∑(-1){k+1}(-1)k/k=∑-1/k, diverge ⇒ excluído.
Logo o domínio de f’ é (2,4].

Resposta

(i) R=1 e dom(f)=[2,4]; (ii) f’(x)=∑_{k=1}∞(-1){k+1}(x-3)^k/k com R=1; (iii) dom(f’)=(2,4].

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