10 Uma caixa contém 100 atomos em uma configuraçio na qual existem 50 átomos em cada lado da caixa. Suponha que você, usando um supercomputador, pudesse contar os diferentes microestados associados a essa configuração à razio de 100 bilhöes de estados por segundo. Sem realizar nenhum ciliculo por escrito, estime quanto tempo seria necessirio para cxecutar a tarefa: um dia, um ano ou muito mais que um ano.

Passo 1

O enunciado descreve uma caixa com 100 átomos, onde a macroconfiguração tem 50 átomos de um lado e 50 do outro. A tarefa é contar todos os microestados compatíveis com essa macroconfiguração. Para isso precisamos usar a fórmula de combinatória que dá o número de maneiras de escolher 50 átomos dentre 100 e em seguida estimar grosseiramente esse valor e o tempo necessário para um computador processar todos esses estados a 10^{11} estados por segundo.

Passo 2

O número de microestados é dado por
\Omega \;=\;\binom{100}{50}
pois escolhemos quais 50 átomos estão de um lado entre os 100 disponíveis.

Passo 3

Para estimar \binom{100}{50} usamos a aproximação de Stirling no caso médio \binom{N}{N/2}\approx \dfrac{2^N}{\sqrt{\pi N/2}}. Para N=100:
2^{100}\approx1,27\times10^{30}
\sqrt{\pi\cdot50}\approx12{,}5
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\Omega \approx \frac{1{,}27\times10^{30}}{12{,}5}\approx1{,}0\times10^{29}

Passo 4

Se o supercomputador consegue verificar 10^{11} estados por segundo, o tempo em segundos é
t = \frac{\Omega}{10^{11}}\approx\frac{10^{29}}{10^{11}}=10^{18}\text{ s}

Passo 5

Convertendo segundos em anos ( 1 ano \approx3{,}15\times10^{7} s):
t\approx\frac{10^{18}}{3{,}15\times10^{7}}\approx3{,}2\times10^{10}\text{ anos}
Isso é muito mais que um ano (até maior que a idade do universo, \sim1,4\times10^{10} anos).

Resposta

Muito mais que um ano.

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