Uma partícula de massa m e carga elétrica e move-se num campo magnético uniforme B=B k, cujo potencial vetor é A(r)=B times r / 2. (i) Mostre que as equações de Lagrange para a partícula equivalem a dotv=-omega times v e determine omega em termos de B. (ii) Exprima a lagrangiana em coordenadas cilíndricas (rho, varphi, z) e mostre que, embora varphi seja coordenada cíclica, a componente Lz=m rho^2 dotvarphi do momento angular não é conservada. Explique.

Passo 1

Beleza, vamos falar de uma partícula de massa m e carga e que se move num campo magnético uniforme
B = B, k,
usando o potencial vetor no “gauge simétrico”
A( r)=tfrac12, Btimes r,
O que precisamos:
  1. Montar a lagrangiana L=tfrac12mdot r^2+e,dot rcdot A( r)
    e aplicar as equações de Euler–Lagrange
    2) Mostrar que isso dá Lz^rm mec=mrho^2dotvarphi e achar
    3) Reescrever em coordenadas cilíndricas , ver que é cíclica, e mostrar porque o momento angular mecânico
    não fica constante.

Passo 2

(i) Começando da lagrangiana em cartesianas:
$$L=\frac12m\dot{\mathbf r}^2+e,\dot{\mathbf r}\cdot\mathbf A(\mathbf r),\qquad
\mathbf A=\frac12,\mathbf B\times\mathbf r,. L=12mdot r^2+e,dot rcdot A( r),, A=12, Btimes r, çõ\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot r_i}
-\frac{\partial L}{\partial r_i}=0,. m\ddot{\mathbf r}=e,\dot{\mathbf r}\times\mathbf B,. $$
Chamando ddtpartial Lpartialdot ri -partial Lpartial ri=0, , temos
$$m\dot{\mathbf v}=e,\mathbf v\times\mathbf B\quad\Longrightarrow\quad
\dot{\mathbf v}=\frac e m,\mathbf v\times\mathbf B,. \dot{\mathbf v}=-\underbrace{\Bigl(\frac e m,\mathbf B\Bigr)}_{\boldsymbol\omega}\times\mathbf v,. $$
Logo
mddot r=e,dot rtimes B, com
mdot v=e, vtimes BLongrightarrow dot v= e m, vtimes B, .

Passo 3

(ii) Agora em coordenadas cilíndricas dot r^2=dotrho^2+rho^2dotvarphi^2+dot z^2, :
posição A=tfrac12, Btimes r =B,rho2,boldsymbolvarphi,, .
Velocidade
e,dot rcdot A =e,Avarphi,( rhodotvarphi ) =eB2,rho^2dotvarphi,
No gauge simétrico encontra-se
$$\mathbf A=\tfrac12,\mathbf B\times\mathbf r
=\frac{B,\rho}{2},\hat{\boldsymbol\varphi}, boxed% L=12ml(dotrho^2+rho^2dotvarphi^2+dot z^2r) +eB2,rho^2dotvarphi, çãéée,\dot{\mathbf r}\cdot\mathbf A
=e,A_\varphi,( \rho\dot\varphi )
=\frac{eB}{2},\rho^2\dot\varphi,. ã\boxed{%
L=\frac12m\bigl(\dot\rho2+\rho2\dot\varphi^2+\dot z^2\bigr)
+\frac{eB}{2},\rho^2\dot\varphi,.} $$

Passo 4

Repare que pvarphi=partial Lpartialdotvarphi =m,rho^2dotvarphi+eB2,rho^2 não aparece “sem derivada” em Lz^rm mec=m,rho^2dotvarphi,, , só ddtl(Lz^rm mecr)neq0, : isso é coordenada cíclica → o momento canônico
$$p_\varphi=\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi}
=m,\rho2\dot\varphi+\frac{eB}{2},\rho2$$
é conservado.
Mas o momento angular mecânico em é

que não inclui o pedaço .
Como fica constante e ele difere de por essa parcela , conclui-se que

Resposta

(i) A equação de movimento é
L=tfrac12m(dotrho^2+rho^2dotvarphi^2+dot z^2) +tfraceB2rho^2dotvarphi,,
com .
(ii) Em coordenadas cilíndricas
$$L=\tfrac12m(\dot\rho2+\rho2\dot\varphi^2+\dot z^2)
+\tfrac{eB}{2}\rho^2\dot\varphi, $$
é cíclica mas o momento angular mecânico

não é conservado porque o termo magnético altera o momento canônico, e só este último é constante.

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