Uma partícula de massa
e carga elétrica
move-se num campo magnético uniforme
, cujo potencial vetor é
. (i) Mostre que as equações de Lagrange para a partícula equivalem a
e determine
em termos de
. (ii) Exprima a lagrangiana em coordenadas cilíndricas
e mostre que, embora
seja coordenada cíclica, a componente
do momento angular não é conservada. Explique.
Passo 1
Beleza, vamos falar de uma partícula de massa
e carga
que se move num campo magnético uniforme
usando o potencial vetor no “gauge simétrico”
O que precisamos:
- Montar a lagrangiana
e aplicar as equações de Euler–Lagrange
2) Mostrar que isso dáe achar
3) Reescreverem coordenadas cilíndricas , ver que é cíclica, e mostrar porque o momento angular mecânico
não fica constante.
Passo 2
(i) Começando da lagrangiana em cartesianas:
$$L=\frac12m\dot{\mathbf r}^2+e,\dot{\mathbf r}\cdot\mathbf A(\mathbf r),\qquad
\mathbf A=\frac12,\mathbf B\times\mathbf r,.
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot r_i}
-\frac{\partial L}{\partial r_i}=0,. m\ddot{\mathbf r}=e,\dot{\mathbf r}\times\mathbf B,. $$
Chamando
, temos
$$m\dot{\mathbf v}=e,\mathbf v\times\mathbf B\quad\Longrightarrow\quad
\dot{\mathbf v}=\frac e m,\mathbf v\times\mathbf B,. \dot{\mathbf v}=-\underbrace{\Bigl(\frac e m,\mathbf B\Bigr)}_{\boldsymbol\omega}\times\mathbf v,. $$
Logo
com
.
Passo 3
(ii) Agora em coordenadas cilíndricas
:
posição .
Velocidade
posição
Velocidade
No gauge simétrico encontra-se
$$\mathbf A=\tfrac12,\mathbf B\times\mathbf r
=\frac{B,\rho}{2},\hat{\boldsymbol\varphi},
e,\dot{\mathbf r}\cdot\mathbf A
=e,A_\varphi,( \rho\dot\varphi )
=\frac{eB}{2},\rho^2\dot\varphi,.
\boxed{%
L=\frac12m\bigl(\dot\rho2+\rho2\dot\varphi^2+\dot z^2\bigr)
+\frac{eB}{2},\rho^2\dot\varphi,.} $$
Passo 4
Repare que
não aparece “sem derivada” em
, só
: isso é coordenada cíclica → o momento canônico
$$p_\varphi=\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi}
=m,\rho2\dot\varphi+\frac{eB}{2},\rho2$$
é conservado.
é conservado.
Mas o momento angular mecânico em
é
que não inclui o pedaço
Como
Resposta
(i) A equação de movimento é
com .
(ii) Em coordenadas cilíndricas
com
(ii) Em coordenadas cilíndricas
$$L=\tfrac12m(\dot\rho2+\rho2\dot\varphi^2+\dot z^2)
+\tfrac{eB}{2}\rho^2\dot\varphi, $$
é cíclica mas o momento angular mecânico
não é conservado porque o termo magnético altera o momento canônico, e só este último é constante.
não é conservado porque o termo magnético altera o momento canônico, e só este último é constante.