Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. O campo vetorial
é mostrado no plano
e é o mesmo em todos os planos horizontais (em outras palavras,
é independente de
e sua componente
é 0 ).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Calcular o rotacional (ou seja,
) do campo vetorial. - (b) Calcular o divergente (ou seja,
) do campo vetorial.
As informações dadas pelo enunciado são:
- A expressão do campo vetorial é
. - (Observação fornecida no enunciado: “o campo é mostrado no plano
e é o mesmo em todos os planos horizontais (ou seja, independente de e com componente igual a 0)”.)
Passo 2
Vamos recordar as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas, sem pânico).
- Operador nabla e definição do rotacional. Se
, então
Explicando: cada componente do rotacional é feita por diferenças de derivadas parciais das componentes do campo — é como medir a “rotação local” do campo em cada direção.
- Definição do divergente. Se
, então
Explicando: o divergente mede a taxa líquida de “saída” do campo num ponto (fonte ou sorvedouro local).
Passo 3
Sobre a aparente contradição no enunciado: há a frase dizendo que o campo é independente de
e tem componente
nula, mas também foi dada explicitamente a fórmula
, que depende de
na terceira componente e tem componente
não-nula. Para calcular rotacional e divergente precisamos de uma expressão explícita; portanto vou usar a expressão explícita dada
— ela é a definição precisa do campo. (Se a intenção fosse outra, o enunciado estaria inconsistente; aqui seguimos a fórmula fornecida.)
Passo 4
Identificar as componentes e calcular as derivadas parciais necessárias. Definimos:
Agora calculamos as derivadas parciais usadas nas fórmulas. Vou aplicar a regra da cadeia quando necessário (se
depende de uma variável,
).
- Derivadas de
:
(Explicação rápida:
depende só de
, então derivada em relação a
é
; derivadas em relação a
ou
são nulas.)
- Derivadas de
com . Tome , então e . Assim:
(Usei a regra da cadeia: derivada de
é
.)
- Derivadas de
com . Tome . Então , , . Logo:
Passo 5
Calcular o rotacional
usando a fórmula e as derivadas acima. Componentes:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Portanto, reunindo:
Passo 6
Calcular o divergente
somando as derivadas parciais apropriadas:
Passo 7
Resumo rápido e dica para a prova: para campos do tipo
normalmente a rotina é calcular as derivadas parciais de cada componente usando regra da cadeia (derivada de
é
), depois montar as combinações
, etc., para o rotacional, e somar
para o divergente. Fazer devagar e conferir sinais evita erros bobos.
Resposta
(a)
(b)