Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. O campo vetorial \mathbf{F} é mostrado no plano x y e é o mesmo em todos os planos horizontais (em outras palavras, \mathbf{F} é independente de z e sua componente z é 0 ).
\mathbf{F}(x, y, z)=\left\langle e^{x}, e^{x y}, e^{x y z}\right\rangle

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Calcular o rotacional (ou seja, \nabla\times \mathbf{F}) do campo vetorial.
  • (b) Calcular o divergente (ou seja, \nabla\cdot \mathbf{F}) do campo vetorial.
As informações dadas pelo enunciado são:
  • A expressão do campo vetorial é \mathbf{F}(x,y,z)=\left\langle e^{x},\, e^{x y},\, e^{x y z}\right\rangle.
  • (Observação fornecida no enunciado: “o campo é mostrado no plano xy e é o mesmo em todos os planos horizontais (ou seja, independente de z e com componente z igual a 0)”.)

Passo 2

Vamos recordar as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas, sem pânico).
  • Operador nabla e definição do rotacional. Se \mathbf{F}=\langle P,Q,R\rangle, então
\nabla\times\mathbf{F}=\left\langle \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\\ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\\ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right\rangle.
Explicando: cada componente do rotacional é feita por diferenças de derivadas parciais das componentes do campo — é como medir a “rotação local” do campo em cada direção.
  • Definição do divergente. Se \mathbf{F}=\langle P,Q,R\rangle, então
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.
Explicando: o divergente mede a taxa líquida de “saída” do campo num ponto (fonte ou sorvedouro local).

Passo 3

Sobre a aparente contradição no enunciado: há a frase dizendo que o campo é independente de z e tem componente z nula, mas também foi dada explicitamente a fórmula \mathbf{F}(x,y,z)=\langle e^{x},e^{xy},e^{xyz}\rangle, que depende de z na terceira componente e tem componente z não-nula. Para calcular rotacional e divergente precisamos de uma expressão explícita; portanto vou usar a expressão explícita dada \mathbf{F}=\langle e^{x},e^{xy},e^{xyz}\rangle — ela é a definição precisa do campo. (Se a intenção fosse outra, o enunciado estaria inconsistente; aqui seguimos a fórmula fornecida.)

Passo 4

Identificar as componentes e calcular as derivadas parciais necessárias. Definimos:
P(x,y,z)=e^{x},\qquad Q(x,y,z)=e^{xy},\qquad R(x,y,z)=e^{xyz}.
Agora calculamos as derivadas parciais usadas nas fórmulas. Vou aplicar a regra da cadeia quando necessário (se u depende de uma variável, \partial_x e^{u}=u_x e^{u}).
  • Derivadas de P:
\frac{\partial P}{\partial x}=e^{x},\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial P}{\partial z}=0.
(Explicação rápida: P=e^{x} depende só de x, então derivada em relação a x é e^{x}; derivadas em relação a y ou z são nulas.)
  • Derivadas de Q com Q=e^{xy}. Tome u=xy, então \partial_x u=y e \partial_y u=x. Assim:
\frac{\partial Q}{\partial x}=y\,e^{xy},\qquad \frac{\partial Q}{\partial y}=x\,e^{xy},\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=0.
(Usei a regra da cadeia: derivada de e^{u} é u' e^{u}.)
  • Derivadas de R com R=e^{xyz}. Tome v=xyz. Então \partial_x v=yz, \partial_y v=xz, \partial_z v=xy. Logo:
\frac{\partial R}{\partial x}=yz\,e^{xyz},\qquad \frac{\partial R}{\partial y}=xz\,e^{xyz},\qquad \frac{\partial R}{\partial z}=xy\,e^{xyz}.

Passo 5

Calcular o rotacional \nabla\times\mathbf{F} usando a fórmula e as derivadas acima. Componentes:
  • Componente x:
\left(\nabla\times\mathbf{F}\right)_x=\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=xz\,e^{xyz}-0=xz\,e^{xyz}.
  • Componente y:
\left(\nabla\times\mathbf{F}\right)_y=\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=0 - yz\,e^{xyz}=-yz\,e^{xyz}.
  • Componente z:
\left(\nabla\times\mathbf{F}\right)_z=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=y\,e^{xy}-0=y\,e^{xy}.
Portanto, reunindo:
\nabla\times\mathbf{F}=\left\langle xz\,e^{xyz},\\\ -yz\,e^{xyz},\\ y\,e^{xy}\right\rangle.

Passo 6

Calcular o divergente \nabla\cdot\mathbf{F} somando as derivadas parciais apropriadas:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=e^{x}+x\,e^{xy}+xy\,e^{xyz}.

Passo 7

Resumo rápido e dica para a prova: para campos do tipo \langle e^{f(x,y,z)},e^{g(x,y,z)},e^{h(x,y,z)}\rangle normalmente a rotina é calcular as derivadas parciais de cada componente usando regra da cadeia (derivada de e^{u} é u' e^{u}), depois montar as combinações \partial R/\partial y-\partial Q/\partial z, etc., para o rotacional, e somar \partial P/\partial x+\partial Q/\partial y+\partial R/\partial z para o divergente. Fazer devagar e conferir sinais evita erros bobos.

Resposta

(a) \nabla\times\mathbf{F}=\left\langle xz\,e^{xyz},\\\ -yz\,e^{xyz},\\ y\,e^{xy}\right\rangle
(b) \nabla\cdot\mathbf{F}=e^{x}+x\,e^{xy}+xy\,e^{xyz}

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