(i) Determine uma parametrização para a curva que se obtem na interseção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 com o cone y \sqrt{3}=\sqrt{x^{2}+z^{2}}.
(ii) Determine um vetor tangente unitario a curva do item (i) no ponto P=(0,1, \sqrt{3}).

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção entre a esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
e o cone
y\sqrt{3}=\sqrt{x^{2}+z^{2}}.
O conteúdo principal é resolver estas duas equações simultaneamente e, em seguida, usar coordenadas polares no plano xz para parametrizar a curva; depois calcular o vetor tangente e normalizá-lo no ponto dado.

Passo 2

Do cone temos
x^{2}+z^{2}=3y^{2}.
Substituindo na esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad 3y^{2}+y^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad 4y^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=1,
logo y=\pm1. A curva de interseção são dois círculos horizontais em y=1 e y=-1.

Passo 3

Como o ponto P=(0,1,\sqrt{3}) está em y=1, focamos no círculo
y=1, \quad x^{2}+z^{2}=3.
Usamos coordenadas polares no plano xz:
x=\sqrt{3}\cos t, \quad z=\sqrt{3}\sin t, \quad y=1,
com t variando em [0,2\pi).

Passo 4

Assim a parametrização da curva é
\mathbf{r}(t)=\bigl(\sqrt{3}\cos t,\;1,\;\sqrt{3}\sin t\bigr), \quad 0\le t<2\pi.

Passo 5

Para achar o vetor tangente em P, calculamos
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-\sqrt{3}\sin t,\;0,\;\sqrt{3}\cos t\bigr).
No ponto P temos x=0 e z=\sqrt{3}, então
0=\sqrt{3}\cos t_{0}\implies\cos t_{0}=0, \quad \sqrt{3}=\sqrt{3}\sin t_{0}\implies\sin t_{0}=1,
logo t_{0}=\tfrac{\pi}{2}. Substituindo:
\mathbf{r}'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\bigl(-\sqrt{3}\cdot1,\;0,\;\sqrt{3}\cdot0\bigr)=(-\sqrt{3},0,0).

Passo 6

O módulo desse vetor é
\bigl\|(-\sqrt{3},0,0)\bigr\|=\sqrt{(\!-\sqrt{3}\!)^{2}}=\sqrt{3}.
Assim o vetor tangente unitário em P é
\mathbf{T}=\frac{1}{\sqrt{3}}\,(-\sqrt{3},0,0)=(-1,0,0).

Resposta

(i) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\bigl(\sqrt{3}\cos t,\;1,\;\sqrt{3}\sin t\bigr),\\\ 0\le t<2\pi.
(ii) \displaystyle \mathbf{T}(P)=(-1,0,0).

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