(a) Determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f para o campo
\mathbf{F}(x, y, z)=(2 x y z-y \cos (x y)) \mathbf{i}+\left(x^{2} z-x \cos (x y)\right) \mathbf{j}+x^{2} y \mathbf{k}
(b) Calcule o trabalho feito por uma força com a expressão dada pelo F do item anterior agindo sobre uma partícula que se disloca ao longo da curva r(t)=(1, \pi t, \cos (\pi t)) quando t \in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede (a) encontrar uma função potencial f tal que \nabla f=\mathbf{F}, onde
\mathbf{F}(x,y,z) = \bigl(2xyz - y\cos(xy),\;x^2z - x\cos(xy),\;x^2y\bigr),
e (b) calcular o trabalho \displaystyle W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ao longo da curva \mathbf{r}(t)=(1,\pi t,\cos(\pi t)), t\in[0,1].
O conteúdo envolve campos conservativos, potencial escalar e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.

Passo 2

Começamos impondo
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xyz \;-\; y\cos(xy).
Integramos em relação a x, tratando y,z como constantes:
f(x,y,z) = \int\bigl(2xyz - y\cos(xy)\bigr)\,dx = x^2yz - \sin(xy) + h(y,z),
onde h(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 3

Agora exigimos que
\frac{\partial f}{\partial y} = x^2z - x\cos(xy).
Do f achado,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2yz - \sin(xy) + h(y,z)\bigr) = x^2z - x\cos(xy) + \frac{\partial h}{\partial y}(y,z).
Para coincidir com x^2z - x\cos(xy) precisamos de \partial h/\partial y=0, logo h(y,z)=g(z).
Em seguida, exigimos
\frac{\partial f}{\partial z} = x^2y.
Das nossas expressões,
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^2yz - \sin(xy) + g(z)\bigr) = x^2y + g'(z)
deve ser igual a x^2y, o que dá g'(z)=0. Assim g é constante e podemos tomar essa constante igual a zero.
Logo, uma função potencial é
\boxed{f(x,y,z)=x^2 y z - \sin(xy).}

Passo 4

Como \mathbf{F}=\nabla f, o trabalho ao longo de C é
W = f\bigl(\mathbf{r}(1)\bigr)\;-\;f\bigl(\mathbf{r}(0)\bigr).
Temos \mathbf{r}(1)=(1,\pi,\cos\pi)=(1,\pi,-1) e \mathbf{r}(0)=(1,0,1).
Então, usando f(x,y,z)=x^2yz-\sin(xy) em x=1:
f(1,y,z)=y\,z - \sin y.
Logo
f\bigl(\mathbf{r}(1)\bigr) = \pi\cdot(-1) - \sin\pi = -\pi, \qquad f\bigl(\mathbf{r}(0)\bigr) = 0\cdot1 - \sin0 = 0.
Portanto
W = -\pi - 0 = -\pi.

Resposta

(a) f(x,y,z)=x^2\,y\,z-\sin(xy).
(b) W=-\pi.

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