(a) Determine uma função
tal que
para o campo
(b) Calcule o trabalho feito por uma força com a expressão dada pelo F do item anterior agindo sobre uma partícula que se disloca ao longo da curva
quando
.
Passo 1
O enunciado pede (a) encontrar uma função potencial
tal que
, onde
e (b) calcular o trabalho
ao longo da curva
,
.
O conteúdo envolve campos conservativos, potencial escalar e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.
O conteúdo envolve campos conservativos, potencial escalar e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.
Passo 2
Começamos impondo
Integramos em relação a
, tratando
como constantes:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Passo 3
Agora exigimos que
Do
achado,
Para coincidir com
precisamos de
, logo
.
Em seguida, exigimos
Em seguida, exigimos
Das nossas expressões,
deve ser igual a
, o que dá
. Assim
é constante e podemos tomar essa constante igual a zero.
Logo, uma função potencial é
Passo 4
Como
, o trabalho ao longo de
é
Temos
e
.
Então, usando em
:
Então, usando
Logo
Portanto
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)