Encontre o volume da parte da bola \rho \leq 3 que esta contida entre os cones \varphi=\frac{\pi}{3} e \varphi=\frac{5 \pi}{6}.

Passo 1

O enunciado pede o volume da parte da bola de raio 3 (isto é, \rho\le3) que fica entre os cones dados por \varphi=\frac{\pi}{3} e \varphi=\frac{5\pi}{6}. O conteúdo principal aqui é usar coordenadas esféricas para calcular um integral triplo de volume.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é
dV = \rho^2 \sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Os limites são:
0 \le \rho \le 3, \quad \frac{\pi}{3} \le \varphi \le \frac{5\pi}{6}, \quad 0 \le \theta \le 2\pi.
Logo o volume é
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{\pi/3}^{5\pi/6}\!\int_{0}^{3} \rho^2 \sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Calcular primeiro o integral em \rho:
\int_{0}^{3} \rho^2 \,d\rho = \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} = 9.
Assim
V = 9 \int_{0}^{2\pi}\!\int_{\pi/3}^{5\pi/6} \sin\varphi \,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Calcular o integral em \varphi:
\int_{\pi/3}^{5\pi/6} \sin\varphi \,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{\pi/3}^{5\pi/6} = \bigl(-\cos\frac{5\pi}{6}\bigr) - \bigl(-\cos\frac{\pi}{3}\bigr) = -\Bigl(-\frac{\sqrt3}{2}\Bigr)+\frac12 = \frac{\sqrt3}{2} + \frac12.
Então
V = 9 \int_{0}^{2\pi} \Bigl(\frac{\sqrt3}{2} + \frac12\Bigr)\,d\theta.

Passo 5

Por fim, o integral em \theta
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
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V = 9 \cdot 2\pi \cdot \Bigl(\frac{\sqrt3}{2} + \frac12\Bigr) = 18\pi \cdot \frac{\sqrt3 + 1}{2} = 9\pi\,(\sqrt3 + 1).

Resposta

O volume é
9\pi\,(\sqrt3 + 1).

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