(i) f(x)=2 x,
(ii) f(x)=2 x+3
(iii) f(x)=|x|, (iv) f(x)=x^2.
Mostre que se f é linear então f(0)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá quatro funções e pede para mostrar que, de maneira geral, se uma função é linear então ela deve satisfazer f(0)=0. Vamos usar a definição de função linear, que exige aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Para uma função f ser linear precisamos ter, para todo x,y e escalar alpha:
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(alpha x)=alpha f(x)
Usando a aditividade com x=0 e y=0:
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)
Isso implica:
f(0)=2f(0) Longrightarrow f(0)=0

Passo 3

Agora, aplicando esse resultado às funções dadas, basta calcular f(0) em cada caso:
• (i) f(x)=2x f(0)=2cdot0=0 (ok)
• (ii) f(x)=2x+3 f(0)=3 (≠0, logo não pode ser linear)
• (iii) f(x)=|x| f(0)=|0|=0 (satisfaz f(0)=0, mas falha em aditividade, portanto não é linear)
• (iv) f(x)=x^2 f(0)=0^2=0 (satisfaz f(0)=0, mas falha na homogeneidade, logo não é linear)

Resposta

Para qualquer função linear f, vale f(0)=0.

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