(i)
,
(ii)
(iii)
(iv)
.
Mostre que se
é linear então
.
(ii)
(iii)
Mostre que se
Passo 1
O enunciado nos dá quatro funções e pede para mostrar que, de maneira geral, se uma função é linear então ela deve satisfazer
. Vamos usar a definição de função linear, que exige aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Para uma função
ser linear precisamos ter, para todo
e escalar
:
•
•
•
•
Usando a aditividade com
e
:
Isso implica:
Passo 3
Agora, aplicando esse resultado às funções dadas, basta calcular
em cada caso:
• (i) ⇒
(ok)
• (ii) ⇒
(≠0, logo não pode ser linear)
• (iii) ⇒
(satisfaz
, mas falha em aditividade, portanto não é linear)
• (iv) ⇒
(satisfaz
, mas falha na homogeneidade, logo não é linear)
• (i)
• (ii)
• (iii)
• (iv)
Resposta
Para qualquer função linear
, vale
.