i) \frac{2}{x}+\frac{3}{x-1}=\frac{3}{x(x-1)}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\frac{2}{x}+\frac{3}{x-1}=\frac{3}{x(x-1)}.
Informações dadas importantes:
  • Temos uma igualdade entre expressões racionais (frações com x no denominador).
  • É preciso encontrar todos os valores de x que satisfazem a igualdade.
  • Observação imediata: os denominadores envolvem x e x-1, então há restrições no domínio (valores que tornam algum denominador zero). Estas restrições vou listar no próximo passo.

Passo 2

Identificar as restrições de domínio (valores proibidos de x):
  • O termo \frac{2}{x} exige que x\neq 0.
  • O termo \frac{3}{x-1} exige que x\neq 1.
  • O termo \frac{3}{x(x-1)} exige que x\neq 0 e x\neq 1.
    Portanto, qualquer solução candidata deve satisfazer
x\neq 0\quad\text{e}\quad x\neq 1.
Isso é importante porque ao multiplicar por expressões que dependem de x devemos lembrar que não podemos considerar raízes que zerem esses fatores — elas não são soluções válidas, apenas pontos onde a expressão original não está definida.

Passo 3

Estratégia de resolução (explicação didática): quando temos soma de frações, uma técnica padrão é eliminar denominadores multiplicando ambos os lados pelo menor denominador comum. Aqui os denominadores são x, x-1 e x(x-1); o menor denominador comum é x(x-1). Multiplicar a equação por x(x-1) é permitido desde que x(x-1)\neq 0, ou seja, desde que já tenhamos excluído x=0 e x=1, o que fizemos no passo anterior. Multiplicar por uma expressão não nula preserva a equivalência da equação.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x(x-1) e simplificamos termo a termo:
x(x-1)\left(\frac{2}{x}+\frac{3}{x-1}\right)=x(x-1)\cdot\frac{3}{x(x-1)}.
Agora simplificamos cada parcela:
  • x(x-1)\cdot\frac{2}{x}=2(x-1), porque o fator x no numerador e denominador se cancela.
  • x(x-1)\cdot\frac{3}{x-1}=3x, porque o fator x-1 se cancela.
  • x(x-1)\cdot\frac{3}{x(x-1)}=3, pois todo o denominador cancela com o numerador.
    Portanto obtemos a equação polinomial equivalente (sob a condição x\neq0,1):
2(x-1)+3x=3.

Passo 5

Desenvolver a expressão e resolver a equação linear resultante:
Primeiro expandimos 2(x-1):
2(x-1)=2x-2.
Somando com 3x temos
2x-2+3x=3 \quad\Rightarrow\quad 5x-2=3.
Isolando x:
5x=3+2=5 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{5}=1.
Então, algebraicamente, a solução candidata é x=1.

Passo 6

Verificação e conclusão (por que a solução é inválida):
Lembramos do domínio: x\neq 1. A solução candidata x=1 zera o denominador (x-1), portanto não é válida na equação original — a expressão original não está definida em x=1. Logo não existe nenhum x que satisfaça a equação dentro do domínio permitido.
Conclusão: não há solução real para a equação dada.

Passo 7

Comentário didático final e exemplo de reforço:
  • Importante: ao resolver equações racionais sempre verifique o domínio antes e depois de multiplicar por expressões que dependem de x. Multiplicar pode introduzir soluções “candidatas” que na verdade tornam algum denominador zero e, portanto, são extraviadas.
  • Exemplo rápido para fixar: resolver \frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x(x-1)}. Seguindo o mesmo procedimento (multiplicar por x(x-1)) dá (x-1)+x=2, isto é 2x-1=2 e x=\tfrac{3}{2}, que respeita x\neq0,1 e é solução válida. Isso mostra a diferença entre “sair um candidato” e “ser solução válida”.

Resposta

\varnothing

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