i)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas importantes:
- Temos uma igualdade entre expressões racionais (frações com
no denominador). - É preciso encontrar todos os valores de
que satisfazem a igualdade. - Observação imediata: os denominadores envolvem
e , então há restrições no domínio (valores que tornam algum denominador zero). Estas restrições vou listar no próximo passo.
Passo 2
Identificar as restrições de domínio (valores proibidos de
):
- O termo
exige que . - O termo
exige que . - O termo
exige que e .
Portanto, qualquer solução candidata deve satisfazer
Isso é importante porque ao multiplicar por expressões que dependem de
devemos lembrar que não podemos considerar raízes que zerem esses fatores — elas não são soluções válidas, apenas pontos onde a expressão original não está definida.
Passo 3
Estratégia de resolução (explicação didática): quando temos soma de frações, uma técnica padrão é eliminar denominadores multiplicando ambos os lados pelo menor denominador comum. Aqui os denominadores são
,
e
; o menor denominador comum é
. Multiplicar a equação por
é permitido desde que
, ou seja, desde que já tenhamos excluído
e
, o que fizemos no passo anterior. Multiplicar por uma expressão não nula preserva a equivalência da equação.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
e simplificamos termo a termo:
Agora simplificamos cada parcela:
-
, porque o fator no numerador e denominador se cancela. -
, porque o fator se cancela. -
, pois todo o denominador cancela com o numerador.
Portanto obtemos a equação polinomial equivalente (sob a condição):
Passo 5
Desenvolver a expressão e resolver a equação linear resultante:
Primeiro expandimos :
Primeiro expandimos
Somando com
temos
Isolando
:
Então, algebraicamente, a solução candidata é
.
Passo 6
Verificação e conclusão (por que a solução é inválida):
Lembramos do domínio: . A solução candidata
zera o denominador
, portanto não é válida na equação original — a expressão original não está definida em
. Logo não existe nenhum
que satisfaça a equação dentro do domínio permitido.
Conclusão: não há solução real para a equação dada.
Lembramos do domínio:
Conclusão: não há solução real para a equação dada.
Passo 7
Comentário didático final e exemplo de reforço:
- Importante: ao resolver equações racionais sempre verifique o domínio antes e depois de multiplicar por expressões que dependem de
. Multiplicar pode introduzir soluções “candidatas” que na verdade tornam algum denominador zero e, portanto, são extraviadas. - Exemplo rápido para fixar: resolver
. Seguindo o mesmo procedimento (multiplicar por ) dá , isto é e , que respeita e é solução válida. Isso mostra a diferença entre “sair um candidato” e “ser solução válida”.