Determine todos os números reais x que satisfaze à desigualdade |x-3|+|x-1|<4.

Passo 1

O enunciado pede determinar todos os números reais x tais que
\lvert x - 3\rvert + \lvert x - 1\rvert < 4.
Este tipo de desigualdade com valor absoluto é resolvido dividindo-se a reta em intervalos onde cada expressão dentro do módulo tem sinal certo, transformando a soma de módulos em funções lineares.

Passo 2

Os pontos onde os argumentos dos módulos mudam de sinal são x=1 e x=3. Logo, analisamos três casos:
  1. x<1
  2. 1 \le x < 3
  3. x\ge3

Passo 3

Caso x<1:
Aqui x-3<0 e x-1<0, então
\lvert x-3\rvert = 3 - x, \qquad \lvert x-1\rvert = 1 - x.
A desigualdade fica
(3-x)+(1-x)=4-2x<4.
Resolvendo 4-2x<4
-2x<0\quad\Longrightarrow\quad x>0.
Combinando com x<1, obtemos
0 < x < 1.

Passo 4

Caso 1 \le x < 3:
Aqui x-1\ge0 e x-3<0, logo
\lvert x-3\rvert = 3-x, \quad \lvert x-1\rvert = x-1,
e
(3-x)+(x-1)=2<4.
Como 2<4 é sempre verdadeiro, todo x em [1,3) satisfaz a desigualdade.

Passo 5

Caso x\ge3:
Agora x-3\ge0 e x-1\ge0, então
\lvert x-3\rvert = x-3, \quad \lvert x-1\rvert = x-1,
e
(x-3)+(x-1)=2x-4<4.
Resolvendo 2x-4<4
2x<8\quad\Longrightarrow\quad x<4.
Combinando com x\ge3, segue
3 \le x < 4.

Passo 6

Unindo os três intervalos obtidos:
(0,1)\;\cup\;[1,3)\;\cup\;[3,4)\;=\;(0,4).

Resposta

(0,4)

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