Mostrar que os seguintes tensores são isotrópicos:
\alpha \delta_{i j} \delta_{k l}+\beta \delta_{i k} \delta_{j l}+\gamma \delta_{i l} \delta_{j k}, sendo \alpha, \beta e \gamma escalares.

Passo 1

O enunciado nos dá o tensor de ordem 4
T_{ijkl} = \alpha\,\delta_{ij}\,\delta_{kl} + \beta\,\delta_{ik}\,\delta_{jl} + \gamma\,\delta_{il}\,\delta_{jk}
e pede para mostrar que ele é isotrópico, ou seja, que para toda matriz ortonormal R vale
T'_{ijkl} \;=\; R_{i a}\,R_{j b}\,R_{k c}\,R_{l d}\,T_{a b c d} \;=\; T_{ijkl}.
Vamos usar a lei de transformação de tensores e a ortonormalidade de R, que implica R_{i a}R_{j a}=\delta_{ij}.

Passo 2

Escrevemos
T'_{ijkl} =\alpha\,(R_{i a}R_{j b}\,\delta_{a b})(R_{k c}R_{l d}\,\delta_{c d}) +\beta\,(R_{i a}R_{j b}\,\delta_{a c})(R_{k c}R_{l d}\,\delta_{b d}) +\gamma\,(R_{i a}R_{j b}\,\delta_{a d})(R_{k c}R_{l d}\,\delta_{b c}).
No primeiro termo contraímos \delta_{a b} e \delta_{c d}, obtendo
R_{i a}R_{j a} = \delta_{ij}, \quad R_{k c}R_{l c} = \delta_{kl},
logo a contribuição é \alpha\,\delta_{ij}\,\delta_{kl}.

Passo 3

No segundo termo contraímos \delta_{a c} e \delta_{b d}, obtendo
R_{i a}R_{k a} = \delta_{ik}, \quad R_{j b}R_{l b} = \delta_{jl},
logo a contribuição é \beta\,\delta_{ik}\,\delta_{jl}.

Passo 4

No terceiro termo contraímos \delta_{a d} e \delta_{b c}, obtendo
R_{i a}R_{l a} = \delta_{il}, \quad R_{j b}R_{k b} = \delta_{jk},
logo a contribuição é \gamma\,\delta_{il}\,\delta_{jk}.

Passo 5

Somando as três contribuições, chega-se a
T'_{ijkl} =\alpha\,\delta_{ij}\,\delta_{kl} +\beta\,\delta_{ik}\,\delta_{jl} +\gamma\,\delta_{il}\,\delta_{jk} =T_{ijkl},
o que mostra que T_{ijkl} é invariante sob qualquer rotação.

Resposta

Como T'_{ijkl}=T_{ijkl} para toda matriz ortonormal R, o tensor é isotrópico.

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