Mostrar que os seguintes tensores são isotrópicos:
, sendo
e
escalares.
Passo 1
O enunciado nos dá o tensor de ordem 4
e pede para mostrar que ele é isotrópico, ou seja, que para toda matriz ortonormal
vale
Vamos usar a lei de transformação de tensores e a ortonormalidade de
, que implica
.
Passo 2
Escrevemos
No primeiro termo contraímos
e
, obtendo
logo a contribuição é
.
Passo 3
No segundo termo contraímos
e
, obtendo
logo a contribuição é
.
Passo 4
No terceiro termo contraímos
e
, obtendo
logo a contribuição é
.
Passo 5
Somando as três contribuições, chega-se a
o que mostra que
é invariante sob qualquer rotação.
Resposta
Como
para toda matriz ortonormal
, o tensor é isotrópico.