Calcule o produto escalar entre o campo vetorial F(r, theta, phi)=r^2 theta^2 r+r^3 phi^3 theta+r^5 phi e o campo vetorial G(r, theta, phi)=r+r phi theta+phi, em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar de dois campos vetoriais dados em coordenadas esféricas:
F(r,theta,phi)=r^2,theta^2,hat r + r^3,phi^3,hattheta + r^5,hatphi
e
G(r,theta,phi)=hat r + r,phi,hattheta + hatphi.
O conteúdo aqui é o produto escalar em bases ortonormais em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, os vetores hat r,hattheta,hatphi formam uma base ortonormal, logo
FcdotG =Fr,Gr+Ftheta,Gtheta+Fphi,Gphi,,
onde Fr,Ftheta,Fphi e Gr,Gtheta,Gphi são as componentes de F e G nessa base.

Passo 3

Identificamos as componentes:
Fr=r^2,theta^2,
Ftheta=r^3,phi^3,
Fphi=r^5,
e
Gr=1,
Gtheta=r,phi,
Gphi=1.

Passo 4

Agora calculamos cada termo do produto escalar:
Fr,Gr=r^2,theta^2times1 = r^2,theta^2,
Ftheta,Gtheta=r^3,phi^3times(r,phi)=r^4,phi^4,
Fphi,Gphi=r^5times1 = r^5.
Somando-os, obtemos
FcdotG = r^2,theta^2 ;+; r^4,phi^4 ;+; r^5,

Resposta

FcdotG = r^2,theta^2 + r^4,phi^4 + r^5

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