(i) se lim n infty n^n raiz|cn|=L>0, então as séries sumn=0^infty cn(x-a)^2 n e sumn=0^infty cn(x-a)^2 n+1 têm raio de convergência 1 / raizL;

Passo 1

A questão diz que se limntoinftyraiz[n]|cn|=L>0, então queremos achar o raio de convergência das séries sumn=0^infty cn(x-a)^2n e sumn=0^infty cn(x-a)^2n+1. O conteúdo que precisamos é série de potências e, em particular, a fórmula de Cauchy–Hadamard para o raio de convergência.

Passo 2

Para qualquer série de potências summ=0^infty am(x-a)^m, a fórmula de Cauchy–Hadamard diz que o seu raio de convergência R satisfaz
R ,=,1limsupmtoinfty|am|^1/m
Isso vem da ideia de comparar com séries geométricas.

Passo 3

Na primeira série sum cn(x-a)^2n, identificamos os coeficientes
a2n=cn, a2n+1=0
Como os termos nulos não alteram o limsup, basta olhar só os índices pares.

Passo 4

Calculamos então o limsup dos coeficientes:
limsupmtoinfty|am|^1/m =limntoinfty|a2n|^1/(2n) =limntoinfty|cn|^1/(2n) =l(limntoinfty|cn|^1/nr)^1/2 =raizL

Passo 5

Pela fórmula de Cauchy–Hadamard, para a primeira série temos
R1=1raizL

Passo 6

Para a segunda série sum cn(x-a)^2n+1, fazemos o mesmo:
b2n+1=cn, b2n=0
e obtemos
limsupmtoinfty|bm|^1/m =limntoinfty|cn|^1/(2n+1) =raizL
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R2=1raizL

Resposta

O raio de convergência de ambas as séries é 1/raizL.

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