(i) se
, então as séries
e
têm raio de convergência
;
Passo 1
A questão diz que se
, então queremos achar o raio de convergência das séries
e
. O conteúdo que precisamos é série de potências e, em particular, a fórmula de Cauchy–Hadamard para o raio de convergência.
Passo 2
Para qualquer série de potências
, a fórmula de Cauchy–Hadamard diz que o seu raio de convergência
satisfaz
Isso vem da ideia de comparar com séries geométricas.
Passo 3
Na primeira série
, identificamos os coeficientes
Como os termos nulos não alteram o
, basta olhar só os índices pares.
Passo 4
Calculamos então o
dos coeficientes:
Passo 5
Pela fórmula de Cauchy–Hadamard, para a primeira série temos
Passo 6
Para a segunda série
, fazemos o mesmo:
e obtemos
logo
Resposta
O raio de convergência de ambas as séries é
.