Seja
um campo em
onde
. Defina
como a região elíptica
e
sua fronteira, ou seja,
é a elipse
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um campo vetorial $ F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) $ que é o gradiente de uma função $ h(x, y) = x^{2} y^{3} $. Temos também uma região elíptica $ D $ definida por $ 4x^{2} + 9y^{2} \leq 1 $ e sua fronteira $ \Gamma $, que é a elipse $ 4x^{2} + 9y^{2} = 1 $. Precisamos calcular duas coisas:
- $ \mathrm{R}1 = \int{\Gamma} F \cdot d\Gamma $ – uma integral de linha do campo $ F $ ao longo da curva $ \Gamma $.
-
– uma integral dupla envolvendo o determinante de uma matriz com as derivadas parciais de $ P $ e $ Q $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais conservativos, integrais de linha e determinantes de matrizes jacobianas.
Passo 2
Vamos começar calculando $ \mathrm{R}1 = \int{\Gamma} F \cdot d\Gamma $.
Já que $ F $ é o gradiente de $ h $, ou seja, $ F = \nabla h $, sabemos que $ F $ é um campo vetorial conservativo. Uma propriedade importante de campos conservativos é que a integral de linha ao longo de qualquer caminho fechado é zero. Isso porque em campos conservativos a integral depende apenas dos pontos inicial e final, e como a curva $ \Gamma $ é fechada, os pontos inicial e final são os mesmos.
Matematicamente, isso é expressado por:
Portanto, $ \mathrm{R}_1 = 0 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular
.
Primeiro, vamos entender o que esse determinante representa. Ele é o determinante da matriz jacobiana do campo $ F $, que é dado por:
No entanto, como $ F = \nabla h $, temos $ P = \frac{\partial h}{\partial x} $ e $ Q = \frac{\partial h}{\partial y} $. Vamos calcular as derivadas:
Como as derivadas mistas de uma função suave são iguais ($ \frac{\partial^2 h}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y} $), o determinante fica:
Mas como $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $, a expressão se simplifica para:
Entretanto, dado que $ F $ é um campo conservativo (gradiente de $ h $), a circulação (ou rotacional) desse campo é zero. Isso significa que o determinante da matriz jacobiana também será zero em todo o domínio $ D $. Portanto, a integral dupla de zero sobre qualquer região será zero.
Então, $ \mathrm{R}_2 = 0 $.
Resposta
$ \mathrm{R}_1 = 0 $ e $ \mathrm{R}_2 = 0 $.