(h) se R>0 é o raio de convergência da série sumn=0^infty cn(x-a)^n, então R é também o raio de convergência da série sumn=0^infty cn(x-a)^n+p.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma série de potências sumn=0^infty cn(x-a)^n tem raio de convergência R>0, então a “série deslocada” sumn=0^infty cn(x-a)^n+p também tem raio de convergência R. O conteúdo envolve definição de raio de convergência e testes de convergência de séries de potências.

Passo 2

Como primeiro passo de resolução, observe que podemos escrever a segunda série como
sumn=0^infty cn(x-a)^n+p = (x-a)^p sumn=0^infty cn(x-a)^n
Para |x-a|, sabemos que a série original sum cn(x-a)^n converge (absolutamente). Como (x-a)^p é apenas uma potência finita de x-a, o fator (x-a)^p não altera a convergência, logo a série deslocada também converge para todo |x-a|. Com isso mostramos que o raio de convergência da série deslocada é pelo menos R.

Passo 3

Para |x-a|>R, a série original diverge (seu termo geral não tende a zero, ou pelo teste da raiz/série de potências). Multiplicar por (x-a)^p — que é um número não nulo e com módulo fixo maior que R^p — não pode recuperar a convergência. Logo a série deslocada diverge para todo |x-a|>R. Com isso mostramos que o raio de convergência não pode exceder R.

Passo 4

Da união das duas desigualdades (raio ≥ R e raio ≤ R) concluímos que o raio de convergência da série sumn=0^infty cn(x-a)^n+p é exatamente R.

Resposta

O raio de convergência da série sumn=0^infty cn(x-a)^n+p é também R.

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