(h) se
é o raio de convergência da série
, então
é também o raio de convergência da série
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma série de potências
tem raio de convergência
, então a “série deslocada”
também tem raio de convergência
. O conteúdo envolve definição de raio de convergência e testes de convergência de séries de potências.
Passo 2
Como primeiro passo de resolução, observe que podemos escrever a segunda série como
Para
Passo 3
Para
, a série original diverge (seu termo geral não tende a zero, ou pelo teste da raiz/série de potências). Multiplicar por
— que é um número não nulo e com módulo fixo maior que
— não pode recuperar a convergência. Logo a série deslocada diverge para todo
. Com isso mostramos que o raio de convergência não pode exceder
.
Passo 4
Da união das duas desigualdades (raio ≥
e raio ≤
) concluímos que o raio de convergência da série
é exatamente
.
Resposta
O raio de convergência da série
é também
.