Leia com atenção, resolva cada questão de forma organizada justificando suas respostas. Boa Prova!
Use separação de variáveis para determinar a solução geral da equação diferencial:
onde cos e sen denotam as funções cosseno.
Use separação de variáveis para determinar a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método de separação de variáveis. Para isso, precisamos reorganizar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro lado.
Passo 2
Primeiro, vamos mover o termo que contém
para o outro lado da equação:
Agora, a equação está dividida entre termos com
e
de um lado e termos com
e
do outro.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para separar completamente as variáveis
e
:
Multiplicamos ambos os lados por
para facilitar a separação:
Agora, os termos com
estão de um lado e os termos com
do outro.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a solução geral. A integral fica assim:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Primeiro, resolvemos a integral do lado esquerdo:
Fazemos uma substituição para simplificar. Seja
, então
e
. Substituindo:
Integrando termo a termo:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral do lado direito:
Para isso, usamos o método de integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Agora, aplicamos integração por partes novamente para
:
Então:
Substituindo de volta:
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.