Leia com atenção, resolva cada questão de forma organizada justificando suas respostas. Boa Prova!
Use separação de variáveis para determinar a solução geral da equação diferencial:
3 raizy+1cos (2 x) d y-x^2y d x=0
onde cos e sen denotam as funções cosseno.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial:
3 raizy+1cos (2 x) , dy - x^2y , dx = 0
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método de separação de variáveis. Para isso, precisamos reorganizar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro lado.

Passo 2

Primeiro, vamos mover o termo que contém 3 raizy+1cos (2 x) , dy = x^2y , dx para o outro lado da equação:
Agora, a equação está dividida entre termos com e de um lado e termos com e do outro.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para separar completamente as variáveis 3 y raizy+1cos (2 x) , dy = x^2 , dx e 3 y raizy+1 , dy = x^2 cos (2 x) , dx :
Multiplicamos ambos os lados por para facilitar a separação:
Agora, os termos com estão de um lado e os termos com do outro.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a solução geral. A integral fica assim:
integral 3 y raizy+1 , dy = integral x^2 cos (2 x) , dx + C
onde é a constante de integração.

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral do lado esquerdo:
integral 3 y raizy+1 , dy
Fazemos uma substituição para simplificar. Seja integral 3 (u - 1) raizu , du = 3 integral (u^3/2 - u^1/2) , du , então 3 ( 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ) + C = 65 u^5/2 - 2 u^3/2 + C e 65 (y + 1)^5/2 - 2 (y + 1)^3/2 + C . Substituindo:
Integrando termo a termo:
Voltando para :

Passo 6

Agora, resolvemos a integral do lado direito:
integral x^2 cos (2 x) , dx
Para isso, usamos o método de integração por partes. Seja:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx
dv = cos (2x) , dx Rightarrow v = sin (2x)2
Aplicando a fórmula de integração por partes x^2 cdot sin (2x)2 - integral sin (2x)2 cdot 2x , dx = x^2 sin (2x)2 - integral x sin (2x) , dx :
u = x Rightarrow du = dx
Agora, aplicamos integração por partes novamente para dv = sin (2x) , dx Rightarrow v = -cos (2x)2 :
x cdot ( -cos (2x)2 ) - integral -cos (2x)2 , dx = -x cos (2x)2 + sin (2x)4 + C
x^2 sin (2x)2 - ( -x cos (2x)2 + sin (2x)4 ) + C = x^2 sin (2x)2 + x cos (2x)2 - sin (2x)4 + C
Então:
Substituindo de volta:

Passo 7

Juntando tudo, temos:
65 (y + 1)^5/2 - 2 (y + 1)^3/2 = x^2 sin (2x)2 + x cos (2x)2 - sin (2x)4 + C
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
65 (y + 1)^5/2 - 2 (y + 1)^3/2 = x^2 sin (2x)2 + x cos (2x)2 - sin (2x)4 + C
onde é a constante de integração.

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