Seja f(x, y)=y(x^2-y)-2 x^2.
Calcule a derivada direcional de f(x, y) em P=(1,2) na direção de w=(12, raiz32).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=y(x²−y)−2x² no ponto P=(1,2) na direção de w=(½,√3/2). O conteúdo aqui é derivada direcional via gradiente e produto escalar com vetor unitário.

Passo 2

Para usar derivada direcional, primeiro calculamos o gradiente ∇f=(f_x,f_y). Derivando em relação a x temos fx=partialpartial x(x²y−y²−2x²)=2xy−4x²²². Derivando em relação a y: fy=partialpartial y(x²y−y²−2x²)=x²−2y²²²².

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(1,2): fx(1,2)=2·1·2−4·1=4−4=0 e fy(1,2)=1²−2·2=1−4=−3². Logo ∇f(1,2)=(0,−3).

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar de ∇f(1,2) com w (que já é unitário):
Duf(1,2)=lang<=0,-3rang<=cdotllang<=tfrac12,tfracraiz32rrang<==0·tfrac12+(-3)·tfracraiz32=-tfrac3raiz32

Resposta

-\tfrac{3\sqrt3}2

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